Exercício 1) Usando a aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e truncamento, calcule o valor da seguinte soma:
\mathrm{S}=\Sigma\left(\mathrm{x} \_\mathrm{i}+\mathrm{y} \_\mathrm{i}\right), onde \mathrm{x}=0,44709 e \mathrm{y}=3,4678
Calcule o valor a cada passo do somatório e também faça o cálculo do erro absoluto a cada passo. (4 pontos)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
  • Dois números: x=0,44709 e y=3,4678.
  • Sistema de ponto flutuante pedido: 4 dígitos significativos, base decimal, truncamento.
    O enunciado pede:
  • Calcular a soma S usando essa aritmética de ponto flutuante;
  • Mostrar o valor a cada passo do somatório (i.e., representação inicial truncada, operação de alinhamento e soma, normalização/truncamento final);
  • Calcular o erro absoluto a cada passo (diferença em valor absoluto entre o valor exato e o valor obtido no passo).

Passo 2

Breve explicação da regra que vamos usar (aula rápida mas direta):
  • Em ponto flutuante normalizado em base 10, representamos um número como m\times10^{e} com 1 \le m < 10 e m com um certo número de dígitos significativos. Aqui queremos 4 dígitos significativos e truncamento (não arredondamento).
  • Procedimento prático para somar dois números:
    1. Representar cada número na forma normalizada e truncar o mantissa para 4 dígitos.
    2. Alinhar exponentes (deslocar mantissas) para realizar a soma dos mantissas.
    3. Somar as mantissas (em precisão disponível), normalizar o resultado e truncar a mantissa final para 4 dígitos.
  • Vamos aplicar isso passo a passo aos nossos x e y.

Passo 3

Representação normalizada e truncamento inicial (armazenamento dos operandos):
  • Escrever x na forma normalizada:
0,44709 = 4,4709\times10^{-1}.
Truncando o mantissa para 4 dígitos (truncamento): 4,4709 \to 4,470. Assim o x armazenado é
\hat{x}=4,470\times10^{-1}=0,4470.
Erro absoluto nesta etapa:
|x-\hat{x}|=|0,44709-0,4470|=0,00009.
  • Escrever y na forma normalizada:
3,4678 = 3,4678\times10^{0}.
Truncando o mantissa para 4 dígitos: 3,4678 \to 3,467. Assim o y armazenado é
\hat{y}=3,467\times10^{0}=3,467.
Erro absoluto nesta etapa:
|y-\hat{y}|=|3,4678-3,467|=0,0008.

Passo 4

Alinhamento de expoentes e soma das mantissas:
  • Para somar \hat{x}=4,470\times10^{-1} e \hat{y}=3,467\times10^{0} alinhamos expoentes a 10^{-1}:
\hat{y}=3,467\times10^{0}=34,67\times10^{-1}.
  • Somamos as mantissas (aqui a soma é exata dentro dos dígitos mostrados):
4,470 + 34,67 = 39,14.
Logo a soma (antes de normalizar) é
39,14\times10^{-1}.
Normalizando (colocar mantissa em [1,10)):
39,14\times10^{-1} = 3,914\times10^{0}.
A mantissa final 3,914 já tem 4 dígitos, então não é necessário truncar mais. Portanto o valor flutuante final da soma é
\hat{S} = 3,914.

Passo 5

Cálculo do valor exato da soma e do erro absoluto final:
  • Soma exata (em aritmética real, sem truncamentos intermediários):
S_{\text{exato}} = x + y = 0,44709 + 3,4678 = 3,91489.
  • Erro absoluto da soma computada em ponto flutuante:
|S_{\text{exato}} - \hat{S}| = |3,91489 - 3,914| = 0,00089.

Passo 6

Resumo dos valores e dos erros em cada passo (interpretação para prova — o que é importante memorizar):
  • Primeiro sai truncamento dos operandos (cada variável é guardada com 4 dígitos; isso já introduz erro).
  • Depois alinha-se o expoente do menor para somar mantissas; cuidado que esse deslocamento pode “perder” dígitos úteis em outras situações (aqui não perdemos além do truncamento já feito).
  • Ao final normaliza-se e garante-se que a mantissa tem no máximo 4 dígitos (truncamento final, se necessário).
  • Sempre comparar com a soma exata para obter o erro absoluto.

Resposta

\hat{x}=4,470\times10^{-1}=0,4470, erro absoluto =0,00009
\hat{y}=3,467\times10^{0}=3,467, erro absoluto =0,0008
\hat{S}=3,914 (resultado da soma em ponto flutuante de 4 dígitos, truncamento), erro absoluto final =0,00089

Exercícios relacionados