Exercício 1) Usando a aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e truncamento, calcule o valor da seguinte soma:
, onde
e
Calcule o valor a cada passo do somatório e também faça o cálculo do erro absoluto a cada passo. (4 pontos)
Calcule o valor a cada passo do somatório e também faça o cálculo do erro absoluto a cada passo. (4 pontos)
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os números do enunciado):
- Dois números:
e . - Sistema de ponto flutuante pedido: 4 dígitos significativos, base decimal, truncamento.
O enunciado pede: - Calcular a soma
usando essa aritmética de ponto flutuante; - Mostrar o valor a cada passo do somatório (i.e., representação inicial truncada, operação de alinhamento e soma, normalização/truncamento final);
- Calcular o erro absoluto a cada passo (diferença em valor absoluto entre o valor exato e o valor obtido no passo).
Passo 2
Breve explicação da regra que vamos usar (aula rápida mas direta):
- Em ponto flutuante normalizado em base 10, representamos um número como
com e com um certo número de dígitos significativos. Aqui queremos 4 dígitos significativos e truncamento (não arredondamento). - Procedimento prático para somar dois números:
- Representar cada número na forma normalizada e truncar o mantissa para 4 dígitos.
- Alinhar exponentes (deslocar mantissas) para realizar a soma dos mantissas.
- Somar as mantissas (em precisão disponível), normalizar o resultado e truncar a mantissa final para 4 dígitos.
- Vamos aplicar isso passo a passo aos nossos
e .
Passo 3
Representação normalizada e truncamento inicial (armazenamento dos operandos):
- Escrever
na forma normalizada:
Truncando o mantissa para 4 dígitos (truncamento):
. Assim o
armazenado é
Erro absoluto nesta etapa:
- Escrever
na forma normalizada:
Truncando o mantissa para 4 dígitos:
. Assim o
armazenado é
Erro absoluto nesta etapa:
Passo 4
Alinhamento de expoentes e soma das mantissas:
- Para somar
e alinhamos expoentes a :
- Somamos as mantissas (aqui a soma é exata dentro dos dígitos mostrados):
Logo a soma (antes de normalizar) é
Normalizando (colocar mantissa em
):
A mantissa final
já tem 4 dígitos, então não é necessário truncar mais. Portanto o valor flutuante final da soma é
Passo 5
Cálculo do valor exato da soma e do erro absoluto final:
- Soma exata (em aritmética real, sem truncamentos intermediários):
- Erro absoluto da soma computada em ponto flutuante:
Passo 6
Resumo dos valores e dos erros em cada passo (interpretação para prova — o que é importante memorizar):
- Primeiro sai truncamento dos operandos (cada variável é guardada com 4 dígitos; isso já introduz erro).
- Depois alinha-se o expoente do menor para somar mantissas; cuidado que esse deslocamento pode “perder” dígitos úteis em outras situações (aqui não perdemos além do truncamento já feito).
- Ao final normaliza-se e garante-se que a mantissa tem no máximo 4 dígitos (truncamento final, se necessário).
- Sempre comparar com a soma exata para obter o erro absoluto.