Exercício 2) Considere um equipamento com sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(4,3,-5,5).
Se \mathrm{a}=0,5324 \times 10^{\wedge} 1 e \mathrm{b}=0,4212 \times 10^{\wedge}-2, calcule (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \_10.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(4,3,-5,5).
  • \mathrm{a}=0,5324\times10^{1}.
  • \mathrm{b}=0,4212\times10^{-2}.
    O que é pedido: calcular (\mathrm{a}+\mathrm{b})_{10} — ou seja, o resultado da soma no formato do SPF indicado (representado em base 10, conforme os números dados).

Passo 2

Interpretação prática do SPF usada aqui (explicando para não ficar perdido): vou tomar a interpretação mais compatível com os dados decimais fornecidos:
  • base \beta=10 (os números foram dados em potência de 10),
  • precisão t=3 dígitos significativos (ou seja, a mantissa armazenada terá 3 algarismos significativos),
  • expoente mínimo -5 e máximo 5 (não necessários explicitamente na soma porque os expoentes dos dados estão dentro desse intervalo).
O formato normalizado que usamos é
\pm 0.d_1 d_2 d_3 \times 10^{e},
com d_1\neq 0 e exatamente t=3 algarismos significativos armazenados. Além disso, assumimos arredondamento para o mais próximo (arredondar ao vizinho; em caso de empate, arredonda-se normalmente para o par — aqui não teremos empate exato).
Comentário curto sobre o procedimento de soma em ponto flutuante:
  1. Cada operando é representado (armazenado) no formato com t dígitos — ou seja, arredondado para t dígitos.
  2. Para somar, alinha-se os expoentes (normalmente transforma um operando para ter o mesmo expoente do outro), soma-se as mantissas com maior precisão temporária e depois arredonda-se o resultado final para t dígitos e normaliza-se se necessário.

Passo 3

Calcular os valores decimais exatos (para ter noção do que estamos somando):
\mathrm{a}=0,5324\times10^{1}=5,324,
\mathrm{b}=0,4212\times10^{-2}=0,004212.

Passo 4

Representar cada operando no SPF com t=3 dígitos (arredondando cada um para 3 algarismos significativos, que é como ficam armazenados):
Para \mathrm{a}=0,5324\times10^{1}:
  • A mantissa dada é 0,5324. Mantendo t=3 dígitos, olhamos os três primeiros dígitos 0,532 e o quarto dígito é 4.
  • Como 4<5, arredondamos para baixo, ficando
\widehat{\mathrm{a}} = 0,532\times10^{1}\quad(\text{armazenado}),
que vale 5,32 em decimal.
Para \mathrm{b}=0,4212\times10^{-2}:
  • A mantissa dada é 0,4212. Com t=3 dígitos pegamos 0,421 e o quarto dígito é 2.
  • Como 2<5, arredondamos para baixo, ficando
\widehat{\mathrm{b}} = 0,421\times10^{-2}\quad(\text{armazenado}),
que vale 0,00421 em decimal.
Observação pedagógica: os operandos já ficam arredondados ao serem guardados na máquina; a soma será feita entre essas representações arredondadas.

Passo 5

Alinhar expoentes para somar \widehat{\mathrm{a}} e \widehat{\mathrm{b}}.
Escolho alinhar com o expoente de \widehat{\mathrm{a}}, que é 10^{1}. Escrever \widehat{\mathrm{b}} com expoente 1:
\widehat{\mathrm{b}} = 0,421\times10^{-2} = 0,000421\times10^{1}.
Agora somamos as mantissas (com precisão temporária suficiente):
0,532 + 0,000421 = 0,532421.
Portanto a soma exata (antes do arredondamento final) é
\widehat{\mathrm{a}}+\widehat{\mathrm{b}} = 0,532421\times10^{1}.

Passo 6

Arredondar o resultado da soma para t=3 dígitos significativos (passo final do algoritmo de ponto flutuante):
A mantissa resultante é 0,532421. Pegamos os três primeiros dígitos 0,532 e observamos o quarto dígito (que é 4). Como 4<5, arredondamos para baixo:
(\mathrm{a}+\mathrm{b})_{\text{na máquina}} = 0,532\times10^{1}.á
Em decimal isso vale 5,32.
Comentário didático extra: se tivéssemos somado exatamente 5,324+0,004212=5,328212 e depois arredondado esse resultado para 3 dígitos significativos obteríamos 5,33. Porém, porque os operandos foram primeiro representados com precisão limitada e, ao alinhar, os dígitos de \mathrm{b} ficaram muito à direita da mantissa de \mathrm{a}, a contribuição de \mathrm{b} não foi suficiente para alterar os três primeiros dígitos finais — por isso o resultado na máquina ficou 5,32. Isso ilustra perda de precisão quando se soma um número muito pequeno com um número muito maior.

Resposta

0,532\times10^{1}

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