Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes A,B,C,D satisfazem
M^T M = I,
ou seja, cujas colunas formam um sistema ortonormal. Vamos verificar isso para cada matriz.

Passo 2

Para A, calculamos
A^T A =0 & 11 & 0^T 0 & 11 & 0 =0 & 11 & 0 0 & 11 & 0 =1 & 00 & 1
Como A^T A=I, a matriz A é ortogonal.

Passo 3

Para B, temos
B^T B =1 & 2-2 & 1 1 & -22 & 1 =5 & 00 & 5 neq I
Logo, B não é ortogonal.

Passo 4

Para C, escrevemos suas colunas
v1=tfrac13[4pt]tfrac2raiz23, v2=tfrac2raiz23[4pt]-tfrac13
Calculamos normas e produto interno:
|v1|^2=l(tfrac13r)^2+l(tfrac2raiz23r)^2 =tfrac19+tfrac89=1, |v2|^2=tfrac89+tfrac19=1, v1cdot v2 =tfrac2raiz29-tfrac2raiz29=0
As colunas são ortonormais, então C^T C=I e C é ortogonal.]

Passo 5

Para D, chamemos suas colunas de u1,u2,u3. Direto vemos que
|u1|^2=tfrac39+tfrac69+0=1, |u2|^2=tfrac39+tfrac636+tfrac24=1, |u3|^2=1,
e que todos os produtos internos uicdot uj com ineq j dão zero. Logo as colunas são ortonormais e D é ortogonal.

Resposta

As matrizes ortogonais são A, C e D. A matriz B não é ortogonal.

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