Diz-se que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B^2=A.
(a) Encontre duas raízes quadradas de A=[ll2 & 2 2 & 2].
(b) Existem quantas raízes quadradas distintas de A=[ll5 & 0 0 & 9] ? Justifique.
(c) Na sua opinião qualquer matriz 2 times 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de achar matrizes B tais que B^2=A em três situações:
– (a) um caso específico simétrico de posto 1,
– (b) uma matriz diagonal com autovalores positivos distintos,
– (c) se toda 2times2 tem raiz quadrada.
Vamos usar diagonalização (ou forma de Jordan) e contagem de escolhas de sinal nos autovalores.

Passo 2

(a) A matriz
A=2&22&2
é simétrica de posto 1. Seus autovalores são obtidos resolvendo
det(A-lambda I)=0, isto é
det2-lambda&22&2-lambda=(2-lambda)^2-4=0
implieslambda1=4,;lambda2=0.
Autovetores normalizados: para lambda1=4 escolhemos
;v1=tfrac1raiz2(1,1), e para lambda2=0
;v2=tfrac1raiz2(1,-1). Montamos
P=l[v1;v2r], D=diag(4,0), A=P,D,P^-1
A raiz quadrada canônica é
raizD=diag(2,0), B=P,raizD,P^-1 =1&11&1,
pois
l[1&11&1r]^2 =l[2&22&2r]=A

Passo 3

Outra raiz quadrada surge trocando o sinal em todos os autovalores de D. Como (-2)^2=4 e 0^2=0, temos também
B'=-1&11&1 e B'^2=A

Passo 4

(b) Para
A=5&00&9
os autovalores são 5 e 9. Qualquer raiz quadrada diagonal de A deve ser
diag(pmraiz5,pm3). Há 2 escolhas de sinal para raiz5 e 2 para 3, totalizando
2times2=4
raízes quadradas distintas.

Passo 5

(c) Nem toda matriz 2times2 tem raiz quadrada. Um critério geral (via forma de Jordan) exige, por exemplo, que blocos de Jordan de valor próprio 0 tenham tamanho par ou que não haja valor próprio negativo de multiplicidade ímpar no caso real. Um contraexemplo simples é
A=0&10&0
Se existisse B com B^2=A, então B teria determinante zero e seria nilpotente. Mas todo nilpotente 2times2 satisfaz B^2=0, não podendo gerar Aneq0. Logo não existe raiz quadrada.

Resposta

(a) Duas raízes são
B1=1&11&1, B2=-1&11&1
(b) Existem exatamente 4 raízes:
diag(pmraiz5,pm3).
(c) Não. Por exemplo,
l[0&10&0r]
não admite nenhuma raiz quadrada.

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