Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
\sim \forall x(\sim A x \rightarrow(B x \wedge C x))

Passo 1

O enunciado pede para “substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação” na fórmula
\neg \forall x(\neg A(x) \rightarrow (B(x) \wedge C(x))).
Informações dadas:
  • Temos três predicados dependentes de x: A(x), B(x) e C(x).
  • A fórmula contém um quantificador universal \forall x precedido de negação externa \neg.
  • A parte dentro do quantificador é uma implicação \neg A(x) \rightarrow (B(x)\wedge C(x)).
    A tarefa é transformar essa fórmula em uma equivalente que não possua a negação na frente do quantificador universal (ou seja, empurrar a negação para dentro usando equivalências lógicas) — sem pedir nada a mais.

Passo 2

Regra importante (de quantificadores): a negação de um quantificador universal vira um quantificador existencial com a negação do predicado:
\neg \forall x\,\varphi(x)\equiv \exists x\,\neg\varphi(x).
Aplicando isso diretamente à fórmula dada, obtemos
\exists x\,\neg\big(\neg A(x)\rightarrow (B(x)\wedge C(x))\big).
Explicação curta: tirar a negação que está antes de \forall troca \forall por \exists e coloca a negação imediatamente sobre a fórmula interna.

Passo 3

Regra para implicação: uma implicação pode ser reescrita como disjunção usando
\varphi\rightarrow\psi \equiv \neg\varphi \vee \psi.
Aqui \varphi é \neg A(x) e \psi é B(x)\wedge C(x). Então
\neg A(x)\rightarrow (B(x)\wedge C(x)) \equiv \neg(\neg A(x)) \vee (B(x)\wedge C(x)).
E como \neg(\neg A(x)) é simplesmente A(x), temos
\neg A(x)\rightarrow (B(x)\wedge C(x)) \equiv A(x) \vee (B(x)\wedge C(x)).
Substituindo na etapa anterior:
\exists x\,\neg\big(A(x)\vee (B(x)\wedge C(x))\big).

Passo 4

Agora usamos De Morgan para a negação de uma disjunção:
\neg(\varphi\vee\psi)\equiv \neg\varphi \wedge \neg\psi.
Aplicando com \varphi=A(x) e \psi=(B(x)\wedge C(x)), obtemos
\neg\big(A(x)\vee (B(x)\wedge C(x))\big)\equiv \neg A(x) \wedge \neg(B(x)\wedge C(x)).
Então a fórmula vira
\exists x\,\big(\neg A(x)\wedge \neg(B(x)\wedge C(x))\big).

Passo 5

Agora aplicamos De Morgan novamente, mas para a negação de uma conjunção:
\neg(\varphi\wedge\psi)\equiv \neg\varphi \vee \neg\psi.
Tomando \varphi=B(x) e \psi=C(x), temos
\neg(B(x)\wedge C(x))\equiv \neg B(x)\vee \neg C(x).
Substituindo na fórmula anterior resulta
\exists x\,\big(\neg A(x)\wedge (\neg B(x)\vee \neg C(x))\big).

Passo 6

Interpretação em linguagem natural (curta, para fixar): existe um elemento x tal que A(x) é falso e, além disso, pelo menos um entre B(x) e C(x) é falso. Ou seja, existe x com \neg A(x) e (ou \neg B(x) ou \neg C(x)).

Passo 7

Forma alternativa equivalente (opcional, para ver outra estrutura): podemos distribuir a conjunção sobre a disjunção para obter uma disjunção de conjunções:
\exists x\,\big((\neg A(x)\wedge \neg B(x)) \vee (\neg A(x)\wedge \neg C(x))\big).
Ambas as formas são logicamente equivalentes à fórmula original.

Resposta

\exists x\big(\neg A(x)\wedge(\neg B(x)\vee\neg C(x))\big)

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