Substitua a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação.
Passo 1
O enunciado pede para “substituir a quantificação negativa pela correspondente quantificação sem a negação” na fórmula
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos três predicados dependentes de
: , e . - A fórmula contém um quantificador universal
precedido de negação externa . - A parte dentro do quantificador é uma implicação
.
A tarefa é transformar essa fórmula em uma equivalente que não possua a negação na frente do quantificador universal (ou seja, empurrar a negação para dentro usando equivalências lógicas) — sem pedir nada a mais.
Passo 2
Regra importante (de quantificadores): a negação de um quantificador universal vira um quantificador existencial com a negação do predicado:
Aplicando isso diretamente à fórmula dada, obtemos
Explicação curta: tirar a negação que está antes de
troca
por
e coloca a negação imediatamente sobre a fórmula interna.
Passo 3
Regra para implicação: uma implicação pode ser reescrita como disjunção usando
Aqui
é
e
é
. Então
E como
é simplesmente
, temos
Substituindo na etapa anterior:
Passo 4
Agora usamos De Morgan para a negação de uma disjunção:
Aplicando com
e
, obtemos
Então a fórmula vira
Passo 5
Agora aplicamos De Morgan novamente, mas para a negação de uma conjunção:
Tomando
e
, temos
Substituindo na fórmula anterior resulta
Passo 6
Interpretação em linguagem natural (curta, para fixar): existe um elemento
tal que
é falso e, além disso, pelo menos um entre
e
é falso. Ou seja, existe
com
e (ou
ou
).
Passo 7
Forma alternativa equivalente (opcional, para ver outra estrutura): podemos distribuir a conjunção sobre a disjunção para obter uma disjunção de conjunções:
Ambas as formas são logicamente equivalentes à fórmula original.