Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
\exists x\left(3 x^{2}+2 x-1=0\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor lógico da proposição quantificada
\exists x\bigl(3x^{2}+2x-1=0\bigr).
Informações dadas:
  1. A variável x é um número real (domínio: \mathbb{R}).
  2. A condição é a equação quadrática 3x^{2}+2x-1=0.
    Pergunta: existe pelo menos um x\in\mathbb{R} que satisfaça essa equação?

Passo 2

O que significa o quantificador existencial \exists?
Dizer \exists x\,(P(x)) significa que existe pelo menos um elemento x no domínio tal que a proposição P(x) seja verdadeira. Aqui P(x) é a equação 3x^{2}+2x-1=0. Para responder, basta encontrar um (ou mais) x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação, ou então mostrar que nenhum real a satisfaz.

Passo 3

Como tratar uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0?
  • Identificamos os coeficientes a, b e c.
  • Usamos o discriminante \Delta e a fórmula quadrática para obter as raízes.
    A fórmula geral e o discriminante são:
\Delta = b^{2}-4ac,
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas).

Passo 4

Identificamos os coeficientes da nossa equação 3x^{2}+2x-1=0:
a=3,\qquad b=2,\qquad c=-1.

Passo 5

Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1) = 4 + 12 = 16.
Como \Delta=16>0, já sabemos que existem duas raízes reais distintas. Para ficar explícito, vamos encontrá-las.

Passo 6

Aplicamos a fórmula quadrática:
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot 3} = \frac{-2\pm 4}{6}.
Calculando cada opção:
x_{1}=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
x_{2}=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1.
Ambos x_{1}=\frac{1}{3} e x_{2}=-1 são números reais e satisfazem a equação (pode verificar substituindo na equação).

Passo 7

Conclusão lógica: existem pelo menos dois x\in\mathbb{R} que tornam 3x^{2}+2x-1=0 verdadeira, portanto a proposição existencial é verdadeira. Força — você viu o procedimento padrão para quadráticas: identificar coeficientes, calcular \Delta e usar a fórmula; isso resolve muitas questões rápidas na prova.

Resposta

Verdadeiro

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