Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor lógico da proposição quantificada
Informações dadas:
- A variável
é um número real (domínio: ). - A condição é a equação quadrática
.
Pergunta: existe pelo menos umque satisfaça essa equação?
Passo 2
O que significa o quantificador existencial
?
Dizer significa que existe pelo menos um elemento
no domínio tal que a proposição
seja verdadeira. Aqui
é a equação
. Para responder, basta encontrar um (ou mais)
que satisfaça a equação, ou então mostrar que nenhum real a satisfaz.
Dizer
Passo 3
Como tratar uma equação do tipo
?
- Identificamos os coeficientes
, e . - Usamos o discriminante
e a fórmula quadrática para obter as raízes.
A fórmula geral e o discriminante são:
Interpretação do discriminante:
- Se
: duas raízes reais distintas. - Se
: uma raiz real dupla. - Se
: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Passo 4
Identificamos os coeficientes da nossa equação
:
Passo 5
Calculamos o discriminante:
Como
, já sabemos que existem duas raízes reais distintas. Para ficar explícito, vamos encontrá-las.
Passo 6
Aplicamos a fórmula quadrática:
Calculando cada opção:
Ambos
e
são números reais e satisfazem a equação (pode verificar substituindo na equação).
Passo 7
Conclusão lógica: existem pelo menos dois
que tornam
verdadeira, portanto a proposição existencial é verdadeira. Força — você viu o procedimento padrão para quadráticas: identificar coeficientes, calcular
e usar a fórmula; isso resolve muitas questões rápidas na prova.
Resposta
Verdadeiro