Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o valor lógico (verdadeiro ou falso) da proposição quantificada
sabendo que
é um número real. Informações dadas: o quantificador é existencial (
) e o domínio de
é o conjunto dos números reais.
Passo 2
Entendendo o que a proposição pergunta:
significa "existe pelo menos um número real
tal que
". Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira (há algum real que satisfaça) ou falsa (nenhum real satisfaz).
Passo 3
Vamos analisar a equação
. Primeiro lembre-se de uma propriedade básica dos números reais: para qualquer número real
, o quadrado de
é sempre não negativo. Em símbolo:
Explicação simples: se
é positivo ou negativo, o produto
é positivo; se
, o quadrado é
. Exemplos rápidos:
,
,
.
Passo 4
A partir de
somamos
em ambos os lados da desigualdade (isso preserva a desigualdade), obtendo
Portanto, para qualquer
real,
é sempre maior ou igual a
.
Passo 5
Se para todo real
temos
, então
nunca pode ser igual a
(porque
). Assim não existe nenhum número real
que satisfaça
.
Passo 6
Conclusão lógica: a proposição existencial "existe
real tal que
" é falsa, pois mostramos que para todo real
temos
. (Observação extra — só para contextualizar: se o domínio fosse os números complexos então existem soluções,
, porque em
podemos ter
. Mas isso não interessa aqui porque o enunciado fixa
como real.)
Resposta
Falso.