Dado x um número real, determine o valor lógico de cada uma das proposições quantificadas a seguir.
\exists x\left(x^{2}+1=0\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o valor lógico (verdadeiro ou falso) da proposição quantificada
\exists x\bigl(x^{2}+1=0\bigr),
sabendo que x é um número real. Informações dadas: o quantificador é existencial ( \exists) e o domínio de x é o conjunto dos números reais.

Passo 2

Entendendo o que a proposição pergunta: \exists x\bigl(x^{2}+1=0\bigr) significa "existe pelo menos um número real x tal que x^{2}+1=0". Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é verdadeira (há algum real que satisfaça) ou falsa (nenhum real satisfaz).

Passo 3

Vamos analisar a equação x^{2}+1=0. Primeiro lembre-se de uma propriedade básica dos números reais: para qualquer número real x, o quadrado de x é sempre não negativo. Em símbolo:
\text{para todo real }x,\quad x^{2}\ge 0.
Explicação simples: se x é positivo ou negativo, o produto x\cdot x é positivo; se x=0, o quadrado é 0. Exemplos rápidos: (-2)^{2}=4, 0^{2}=0, 1^{2}=1.

Passo 4

A partir de x^{2}\ge 0 somamos 1 em ambos os lados da desigualdade (isso preserva a desigualdade), obtendo
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto, para qualquer x real, x^{2}+1 é sempre maior ou igual a 1.

Passo 5

Se para todo real x temos x^{2}+1\ge 1, então x^{2}+1 nunca pode ser igual a 0 (porque 0<1). Assim não existe nenhum número real x que satisfaça x^{2}+1=0.

Passo 6

Conclusão lógica: a proposição existencial "existe x real tal que x^{2}+1=0" é falsa, pois mostramos que para todo real x temos x^{2}+1\ge1>0. (Observação extra — só para contextualizar: se o domínio fosse os números complexos então existem soluções, x=\pm i, porque em \mathbb{C} podemos ter i^{2}=-1. Mas isso não interessa aqui porque o enunciado fixa x como real.)

Resposta

Falso.

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