Dado um número real positivo N, podemos obter aproximações para raizN por meio da sequência gerada recursivamente por
x1=N2, xn+1=12(xn+Nxn) para n=1,2,3, ldots
(a) Encontre os termos aproximativos x2 até x6.
(b) Assumindo-se que lim n infty xn=L, prove que L=raizN.

Passo 1

O enunciado pede pra aproximar raizN usando a sequência de Newton (método de Newton–Raphson) dada por
x1=N2, xn+1=12l(xn+Nxnr)
Vamos primeiro calcular os termos x2 até x6 e depois, na parte (b), provar que o limite L=limntoinftyxn satisfaz L=raizN.

Passo 2

Para achar x2, substituímos x1=N/2 na fórmula:
x2=12l(N2+NN/2r)=12l(N2+2r)=N+44

Passo 3

Agora calculamos x3. Primeiro encontramos N/x2=4N/(N+4) e depois:
x3=12l(x2+Nx2r)=12l(N+44+4NN+4r)=N^2+24N+168,(N+4)

Passo 4

De modo análogo, aplicamos a recorrência para os termos seguintes. Fica:
x4=12l(x3+Nx3r), x5=12l(x4+Nx4r), x6=12l(x5+Nx5r)
Cada um desses dá uma expressão racional em N que melhora a aproximação para raizN.

Passo 5

Para a parte (b), suponha que xnto L>0. Tomando limite na definição de xn+1 obtemos
L=12l(L+NLr)
Multiplicando por 2 e rearranjando:
2L=L+NLLongrightarrow L=NLLongrightarrow L^2=NLongrightarrow L=raizN

Passo 6

Isso mostra que, se a sequência convergir, o limite é +raizN, como queríamos.

Resposta

Âs expressões finais dos termos são:
x_{2}=\frac{N+4}{4},
x_{3}=\frac{N^{2}+24N+16}{8,(N+4)},
x_{4}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{3}+N/x_{3}\bigr),
x_{5}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{4}+N/x_{4}\bigr),
x_{6}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{5}+N/x_{5}\bigr).
E, no limite, limntoinftyxn=raizN

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