Dado um número real positivo
, podemos obter aproximações para
por meio da sequência gerada recursivamente por
(a) Encontre os termos aproximativos
até
.
(b) Assumindo-se que
, prove que
.
(b) Assumindo-se que
Passo 1
O enunciado pede pra aproximar
usando a sequência de Newton (método de Newton–Raphson) dada por
Vamos primeiro calcular os termos
até
e depois, na parte (b), provar que o limite
satisfaz
.
Passo 2
Para achar
, substituímos
na fórmula:
Passo 3
Agora calculamos
. Primeiro encontramos
e depois:
Passo 4
De modo análogo, aplicamos a recorrência para os termos seguintes. Fica:
Cada um desses dá uma expressão racional em
que melhora a aproximação para
.
Passo 5
Para a parte (b), suponha que
. Tomando limite na definição de
obtemos
Multiplicando por 2 e rearranjando:
Passo 6
Isso mostra que, se a sequência convergir, o limite é
, como queríamos.
Resposta
Âs expressões finais dos termos são:
x_{2}=\frac{N+4}{4},
x_{2}=\frac{N+4}{4},
x_{3}=\frac{N^{2}+24N+16}{8,(N+4)},
x_{4}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{3}+N/x_{3}\bigr),
x_{5}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{4}+N/x_{4}\bigr),
x_{6}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{5}+N/x_{5}\bigr).
E, no limite,