Dado o vetor a=(2,-3,1) e b=(5,0,-2);
(*) Calcule o produto escalar a cdot b, o angulo entre os vetores e encontre o vetor projeção de a sobre b.
(b) Determine um vetor v ortogonal a b mas nâo ortogonal a a. E , um vetor u, não-nulo, ortogonal a a e b.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores
a=(2,-3,1) e b=(5,0,-2).
O conteúdo aqui é produto escalar, ângulo entre vetores, projeção de um vetor em outro e ortogonalidade.
Para resolver isso vamos precisar de:
  1. Definição de produto escalar ( acdotb).
  2. Norma de um vetor ( |v|).
  3. Relação costheta = acdotb|a||b|.
  4. Fórmula de projeção projvec b(vec a)=vec acdotvec bvec bcdotvec b,vec b.
  5. Condição de ortogonalidade ( vec vcdotvec b=0).
  6. Produto vetorial para achar vetor ortogonal a dois vetores.

Passo 2

Primeiro, o produto escalar é definido como “multiplica componente a componente e soma tudo”:
acdotb =2cdot5 + (-3)cdot0 + 1cdot(-2) =10 + 0 - 2 =8

Passo 3

Agora vamos achar as normas (comprimento) de cada um:
|vec a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14,
|vec b| = raiz5^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29
A relação com o ângulo theta é
costheta = vec acdotvec b|vec a||vec b| = 8raiz14,raiz29 = 8raiz406
Então o ângulo é
theta = arccos!l(tfrac8raiz406r)

Passo 4

Para a projeção de vec a em vec b usamos
projvec b(vec a) = vec acdotvec bvec bcdotvec b,vec b = 85^2+0^2+(-2)^2,(5,0,-2) = 829,(5,0,-2)
Ou seja
projvec b(vec a) =l(tfrac4029,,0,,-tfrac1629r)

Passo 5

Agora um vetor vec v ortogonal a vec b (ou seja vec vcdotvec b=0) mas não ortogonal a vec a (ou seja vec vcdotvec aneq0).
Escolhemos na boa vec v=(2,0,5).
Confirmação:
vec vcdotvec b = 2cdot5 + 0cdot0 + 5cdot(-2) =10-10=0 e vec vcdotvec a = 2cdot2 + 0cdot(-3) +5cdot1 = 4+5=9neq0

Passo 6

Por fim, um vetor não-nulo vec u ortogonal a vec a e a vec b.
Pra isso a gente usa produto vetorial:
vec atimesvec b =l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)
Substituindo:
vec atimesvec b =(,-3cdot(-2)-1cdot0,;1cdot5-2cdot(-2),;2cdot0-(-3)cdot5) =(6,,9,,15)
Pra ficar mais simples, dividimos por 3 e tomamos
vec u=(2,3,5), que satisfaz
vec ucdotvec a=0 e vec ucdotvec b=0.

Resposta

Produto escalar: vec acdotvec b = 8
Ângulo: theta = arccos!l(tfrac8raiz406r)
Projeção: projvec b(vec a) =l(tfrac4029,0,-tfrac1629r)
Vetor vec v ortogonal a vec b mas não a vec a:
vec v=(2,0,5)
Vetor vec u ortogonal a ambos: vec u=(2,3,5)

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