Dado o vetor
e
;
(*) Calcule o produto escalar
, o angulo entre os vetores e encontre o vetor projeção de
sobre
.
(b) Determine um vetor
ortogonal a
mas nâo ortogonal a
. E , um vetor
, não-nulo, ortogonal a
e
.
(*) Calcule o produto escalar
(b) Determine um vetor
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores
e
.
O conteúdo aqui é produto escalar, ângulo entre vetores, projeção de um vetor em outro e ortogonalidade.
Para resolver isso vamos precisar de:
O conteúdo aqui é produto escalar, ângulo entre vetores, projeção de um vetor em outro e ortogonalidade.
Para resolver isso vamos precisar de:
- Definição de produto escalar (
). - Norma de um vetor (
). - Relação
. - Fórmula de projeção
. - Condição de ortogonalidade (
). - Produto vetorial para achar vetor ortogonal a dois vetores.
Passo 2
Primeiro, o produto escalar é definido como “multiplica componente a componente e soma tudo”:
Passo 3
Agora vamos achar as normas (comprimento) de cada um:
A relação com o ângulo
é
Então o ângulo é
Passo 4
Para a projeção de
em
usamos
Ou seja
Passo 5
Agora um vetor
ortogonal a
(ou seja
) mas não ortogonal a
(ou seja
).
Escolhemos na boa .
Confirmação:
Escolhemos na boa
Confirmação:
Passo 6
Por fim, um vetor não-nulo
ortogonal a
e a
.
Pra isso a gente usa produto vetorial:
Pra isso a gente usa produto vetorial:
Substituindo:
Pra ficar mais simples, dividimos por 3 e tomamos
, que satisfaz
e
.
Resposta
Produto escalar:
Ângulo:
Projeção:
Vetor ortogonal a
mas não a
:
Vetor ortogonal a ambos:
Ângulo:
Projeção:
Vetor
Vetor