Questão 5: Encontre a solução geral da equação abaixo:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' - 5y' + 6y = 0 . Este é um problema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y'' por r^2 , y' por r e y por 1. Assim, a equação característica fica:
r^2 - 5r + 6 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação quadrática r^2 - 5r + 6 = 0 para encontrar os valores de r . Podemos fatorar a equação:
(r - 2)(r - 3) = 0
Portanto, as raízes são r = 2 e r = 3 .

Passo 4

Com as raízes encontradas, sabemos que a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x
onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - 5y' + 6y = 0 é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

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