Questão 5: Encontre a solução geral da equação abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Este é um problema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos fatorar a equação:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, sabemos que a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: