Questão 4: Encontre a solução geral (na forma implícita) da seguinte equação exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que nos foi dada:
Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, então precisamos encontrar uma solução geral nessa forma implícita. Para isso, vamos usar o conceito de equações exatas e integrar as partes adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que multiplicam
e
respectivamente:
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Mas sabemos que
também deve ser igual a
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Integrando
em relação a
, encontramos
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como queremos a solução na forma implícita, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial exata dada é: