Questão 4: Encontre a solução geral (na forma implícita) da seguinte equação exata:
(2 x-y) d x+(3 y-x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que nos foi dada:
(2 x - y) , dx + (3 y - x) , dy = 0
Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas, então precisamos encontrar uma solução geral nessa forma implícita. Para isso, vamos usar o conceito de equações exatas e integrar as partes adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) que multiplicam dx e dy respectivamente:
M(x, y) = 2x - y e N(x, y) = 3y - x
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x :
partial Mpartial y = -1 e partial Npartial x = -1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é realmente exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
dF = M , dx + N , dy
Primeiro, integramos M em relação a x :
F(x, y) = integral (2x - y) , dx = x^2 - yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece como constante de integração.

Passo 4

Em seguida, derivamos F(x, y) em relação a y para encontrar h'(y) :
partial Fpartial y = -x + h'(y)
Mas sabemos que partial Fpartial y também deve ser igual a N(x, y) :
-x + h'(y) = 3y - x
Simplificando, temos:
h'(y) = 3y

Passo 5

Integrando h'(y) em relação a y , encontramos h(y) :
h(y) = integral 3y , dy = 32y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão de F(x, y) :
F(x, y) = x^2 - yx + 32y^2 + C
Como queremos a solução na forma implícita, igualamos F(x, y) a uma constante:
x^2 - yx + 32y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial exata dada é:
x^2 - yx + 32y^2 = C

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