Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
x(t)=e^t, y(t)=e^-2 t,-1 <= t <= 1;

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=e^t,
y(t)=e^-2t,
para -1 <= t <= 1,
e pede um esboço no plano (x,y).
O conteúdo é curva paramétrica e vamos precisar (1) relacionar x e y para obter a equação cartesiana e (2) identificar pontos-chave e orientação.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t:
y = e^-2t = l(e^tr)^-2 = x^-2
Logo, a curva é a porção da função
y = 1x^2
no intervalo de x obtido a seguir.

Passo 3

Como t varia em [-1,1], temos
x = e^t implies xinl[e^-1,,e^1r] = l[e^-1,,er]
E consequentemente
y = x^-2inl[e^-2,,e^2r]

Passo 4

Calculamos pontos notáveis e a orientação da curva:
  • Para t=-1:
    l(x,yr)=l(e^-1,,e^2r)approx(0,37,7,39).
  • Para t=0:
    l(x,yr)=l(1,1r).
  • Para t=1:
    l(x,yr)=l(e,,e^-2r)approx(2,72,0,14).
A orientação vai de l(e^-1,e^2r) em direção a l(e,e^-2r) à medida que t cresce.

Passo 5

O esboço é então o ramo de hipérbole y=1/x^2 no primeiro quadrante, para x de e^-1 a e. A curva sai bem alta em x=e^-1, passa em (1,1) e cai suavemente até y=e^-2 em x=e, com flechas indicando o sentido de -1 para 1.

Resposta

Esboço da curva y=1/x^2 para xin[e^-1,e], orientada de (e^-1,e^2) para (e,e^-2).

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