Seja
uma sequências de números reais qualquer. Fixado
, mostre que
converge se, e somente se,
converge e que em caso da convergência das séries, se
e
, então
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência real
e de duas séries associadas:
onde
é fixo. Precisamos usar a definição de convergência de série (convergência da sequência de somas parciais) para mostrar que cada série converge se, e somente se, a outra converge, e que, em caso de convergência, os seus somatórios
e
satisfazem
com
Passo 2
Defina as somas parciais
Então, para todo
,
Passo 3
Suponha que
converge a
. Então
quando
. Como
segue que
Logo
converge, isto é,
converge.
Passo 4
Agora suponha que
converge a
. Então
. Para
temos
Como
implica
, concluímos que
portanto
converge.
Passo 5
Dos Passos 3 e 4 temos a equivalência de convergência. Além disso, ao tomar o limite em
segue que o somatório total satisfaz
Resposta
A série
converge se, e somente se,
converge, e em caso de convergência temos
onde
.