Seja \left(a_{n}\right) uma sequências de números reais qualquer. Fixado p \in \mathbb{N}, mostre que \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge se, e somente se, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+p} converge e que em caso da convergência das séries, se S=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e S^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+p}, então
S=\left(a_{1}+\ldots+a_{p}\right)+S^{\prime}

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência real \bigl(a_n\bigr) e de duas séries associadas:
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p},
onde p\in\mathbb{N} é fixo. Precisamos usar a definição de convergência de série (convergência da sequência de somas parciais) para mostrar que cada série converge se, e somente se, a outra converge, e que, em caso de convergência, os seus somatórios S e S' satisfazem
S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{e}\quad S'=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p},
com
S =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+S'.

Passo 2

Defina as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n, \qquad T_N=\sum_{n=1}^{N}a_{n+p}=\sum_{k=p+1}^{p+N}a_k.
Então, para todo N\in\mathbb{N},
S_{N+p} =\sum_{n=1}^{N+p}a_n =\sum_{n=1}^{p}a_n+\sum_{n=p+1}^{p+N}a_n =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+T_N.

Passo 3

Suponha que \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge a S. Então S_N\to S quando N\to\infty. Como
T_N =S_{N+p}-\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr),
segue que
\lim_{N\to\infty}T_N =\lim_{N\to\infty}S_{N+p} -\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr) =S-\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr).
Logo \bigl(T_N\bigr) converge, isto é, \sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p} converge.

Passo 4

Agora suponha que \sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p} converge a S'. Então T_N\to S'. Para N>p temos
S_N =\sum_{n=1}^{N}a_n =\sum_{n=1}^{p}a_n+\sum_{n=p+1}^{N}a_n =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+T_{\,N-p}.
Como N\to\infty implica N-p\to\infty, concluímos que
\lim_{N\to\infty}S_N =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+\lim_{M\to\infty}T_{M} =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+S',
portanto \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge.

Passo 5

Dos Passos 3 e 4 temos a equivalência de convergência. Além disso, ao tomar o limite em
S_{N+p} =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+T_N,
segue que o somatório total satisfaz
S =\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p} =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+S'.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge se, e somente se, \sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p} converge, e em caso de convergência temos
S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\bigl(a_1+\cdots+a_p\bigr)+S',
onde S'=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+p}.

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