Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Escolha do método: como o integrando é uma fração racional (uma razão de polinômios) com grau do numerador menor que o grau do denominador e o denominador é um polinômio que pode ser fatorado, o método mais eficaz é decompor em frações parciais e integrar termo a termo. Isso facilita porque integrais de termos simples como
,
e
são diretas.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para ver as partes que aparecem na decomposição. Fatore o polinômio
extraindo fator comum:
Logo o denominador tem um fator quadrático
e um fator linear
. Assim esperamos uma decomposição com termos em
,
e
.
Passo 4
Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes a determinar:
onde
,
e
são constantes reais que vamos encontrar. Esta forma é padrão: para um fator
devemos incluir termos
e para o fator linear
incluímos
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
Agora expandimos o lado direito:
Comparando coeficientes dos polinômios (já que a igualdade vale para todo
), obtemos o sistema:
Resolvendo a última equação primeiro:
Usando
:
Portanto:
Passo 6
Substituímos as constantes na decomposição:
Assim a integral fica
Passo 7
Integramos termo a termo usando integrais básicas:
Aplicando isso:
Passo 8
Podemos agrupar os termos logarítmicos se quisermos uma forma compacta:
Portanto uma forma final é