Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x^{3}-9 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{3}-9x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{a função a integrar é } \frac{1}{x^{3}-9x^{2}}.çãé

Passo 2

Escolha do método: como o integrando é uma fração racional (uma razão de polinômios) com grau do numerador menor que o grau do denominador e o denominador é um polinômio que pode ser fatorado, o método mais eficaz é decompor em frações parciais e integrar termo a termo. Isso facilita porque integrais de termos simples como 1/x, 1/x^{2} e 1/(x-a) são diretas.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para ver as partes que aparecem na decomposição. Fatore o polinômio x^{3}-9x^{2} extraindo fator comum:
x^{3}-9x^{2}=x^{2}(x-9).
Logo o denominador tem um fator quadrático x^{2} e um fator linear (x-9). Assim esperamos uma decomposição com termos em x, x^{2} e (x-9).

Passo 4

Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes a determinar:
\frac{1}{x^{2}(x-9)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-9},
onde A, B e C são constantes reais que vamos encontrar. Esta forma é padrão: para um fator x^{2} devemos incluir termos \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}} e para o fator linear (x-9) incluímos \frac{C}{x-9}.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-9)\) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial: \[1 = A\cdot x(x-9) + B\cdot (x-9) + C\cdot x^{2}.
Agora expandimos o lado direito:
A(x^{2}-9x) + Bx - 9B + Cx^{2} = (A+C)x^{2} + (-9A + B)x -9B.
Comparando coeficientes dos polinômios (já que a igualdade vale para todo x), obtemos o sistema:
\begin{cases} \text{coeficiente de } x^{2}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de } x: & -9A + B = 0,\\[4pt] \text{termo constante:} & -9B = 1. \end{cases}
Resolvendo a última equação primeiro:
-9B=1 \implies B=-\frac{1}{9}.
Usando -9A + B = 0\]: \[-9A + \left(-\frac{1}{9}\right) = 0 \implies -9A = \frac{1}{9} \implies A = -\frac{1}{81}.\] Usando \(A + C = 0:
C = -A = \frac{1}{81}.
Portanto:
A=-\frac{1}{81},\quad B=-\frac{1}{9},\quad C=\frac{1}{81}.]

Passo 6

Substituímos as constantes na decomposição:
\frac{1}{x^{2}(x-9)} = -\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{81}\cdot\frac{1}{x-9}.
Assim a integral fica
\int \frac{dx}{x^{3}-9x^{2}} = \int\left(-\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{81}\cdot\frac{1}{x-9}\right)dx.

Passo 7

Integramos termo a termo usando integrais básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + \text{constante}.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + \text{constante}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-9}\,dx = \ln|x-9| + \text{constante}.
Aplicando isso:
\begin{aligned} \int \frac{dx}{x^{3}-9x^{2}} &= -\frac{1}{81}\int \frac{dx}{x} - \frac{1}{9}\int x^{-2}dx + \frac{1}{81}\int \frac{dx}{x-9} \\\ &= -\frac{1}{81}\ln|x| - \frac{1}{9}\left(-\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{81}\ln|x-9| + C \\\ &= -\frac{1}{81}\ln|x| + \frac{1}{9x} + \frac{1}{81}\ln|x-9| + C. \end{aligned}

Passo 8

Podemos agrupar os termos logarítmicos se quisermos uma forma compacta:
-\frac{1}{81}\ln|x| + \frac{1}{81}\ln|x-9| = \frac{1}{81}\ln\left|\frac{x-9}{x}\right|.
Portanto uma forma final é
\int \frac{dx}{x^{3}-9x^{2}} = \frac{1}{81}\ln\left|\frac{x-9}{x}\right| + \frac{1}{9x} + C.

Resposta

\frac{1}{81}\ln\left|\frac{x-9}{x}\right|+\frac{1}{9x}+C

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