Dado um número real
, sejam
e
duas curvas fechadas em
, onde
é a circunferência de raio
, centrada na origem, orientada positivamente, e
é a curva quadrangular constituída pelos segmentos de retas de
a
, de
a
, de
a
e de
a
, orientada positivamente. Se
é campo vetorial dado por
determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e as curvas são:
O campo vetorial dado é
Informações relevantes e observações iniciais:
- Tanto
quanto são curvas fechadas e está inteiramente contida no interior de (porque os vértices do losango estão a distância da origem, enquanto o raio da circunferência é ). - O campo
tem denominador , ou seja, é singular na origem . Fora da origem é bem definida e suave. - A região entre
e (o anel entre as duas curvas) não contém a origem, portanto em toda essa região é suave.
Passo 2
Vamos verificar o rotacional (curl) planar de
, porque isso nos permite usar o Teorema de Green se o rotacional for apropriado. Escrevendo componentes:
O rotacional bidimensional (função escalar) é
Calculamos
. Para
onde
,
Multiplicando por
obtemos
Agora
. Para
,
Multiplicando por
(por causa do sinal de
),
Portanto
Conclusão: o rotacional de
é nulo em todo ponto onde
é definido (isto é, em
).
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema de Green na região
que é o anel entre
e
. Teorema de Green (em versão informal): se
têm derivadas parciais contínuas numa região plana
, então
No nosso caso a região
está entre
e
; o contorno orientado positivamente de
é dado por
(orientação anti-horária) mais a curva
(isto é,
com orientação negativa, pois a fronteira interna deve ser percorrida no sentido horário para a orientação positiva do domínio). Assim
Como o rotacional é zero em
, a integral dupla é zero, logo
Ou seja: a integral sobre
é igual à integral sobre
. Isso é muito útil porque
é uma circunferência simples, fácil de parametrizar.
Passo 4
Parametrizamos
(circunferência de raio
, centrada na origem, orientação positiva) por
Então
Avaliamo-s
sobre a circunferência: como
,
e
,
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando cada termo:
Somando:
Portanto a integral sobre
é
Passo 6
Como no Passo 3 concluímos que
e no Passo 5 encontramos que a integral sobre
vale
, segue que
Resposta
10