É dado que z é um número real tal que z=lambda+i 41+i lambda, lambda in R. Encontre os valores possíveis de lambda.

Passo 1

O enunciado dá
z = lambda + i,41 + i,lambda, lambdainR,
e diz que z é real. Para achar os valores de lambda precisamos usar álgebra de números complexos: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, obter parte real e imaginária de z e anular a parte imaginária.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 1 - i,lambda, conjugado de 1 + i,lambda:
z = (lambda + i,4)(1 - i,lambda)(1 + i,lambda)(1 - i,lambda) = (lambda + i,4)(1 - i,lambda)1 + lambda^2

Passo 3

Desenvolvendo o produto no numerador:
(lambda + i,4)(1 - i,lambda) = lambdacdot1 + lambdacdot(-ilambda) + i,4cdot1 + i,4cdot(-ilambda) = lambda - i,lambda^2 + 4i +4lambda = 5lambda + i,(4 - lambda^2)
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z = 5lambda + i,(4 - lambda^2)1 + lambda^2

Passo 4

Para z ser real, sua parte imaginária deve ser zero:
4 - lambda^2 = 0 Longrightarrow lambda^2 = 4 Longrightarrow lambda = pm 2

Resposta

lambda = 2 ou lambda = -2.

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