Encontre as duas soluções da equação (z-i)(z^*-i)=6 z-i 22, z in C.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar zinC que satisfaz
(z - i),(z^* - i) = 6z - 22,i
Para resolver vamos escrever z = x + i y e separar a equação em parte real e parte imaginária.

Passo 2

Se z = x + i y, então
z - i = x + i(y-1), z^* - i = x - i(y+1)
Multiplicando em forma cartesiana:
(z - i)(z^* - i) = (x + i(y-1))(x - i(y+1)) = x^2 + y^2 - 1 - 2,i x

Passo 3

O lado direito é
6z - 22,i = 6x + i(6y - 22)
Igualando parte real com parte real e imaginária com imaginária, obtemos
x^2 + y^2 - 1 = 6x
-2x = 6y - 22
A primeira equação pode ser reescrita como
(x - 3)^2 + y^2 = 10
(e um círculo de raio raiz10 centrado em (3,0)) e a segunda como
6y = 22 - 2x

Passo 4

Da reta isolamos
y = 11 - x3
e substituímos no círculo:
(x - 3)^2 + l(tfrac11 - x3r)^2 = 10
Multiplicando por 9 e simplificando chega-se à equação quadrática
5x^2 - 38x + 56 = 0,
cuja discrimante é D = (-38)^2 - 4cdot5cdot56 = 324 e, portanto,
x = 38 pm 1810 ;Longrightarrow; x = 2 ou x = 285

Passo 5

Para cada valor de x encontramos y em
y = 11 - x3
Se x = 2 então y = 3.
Se x = tfrac285 então y = tfrac95.
Logo as duas soluções são
z = 2 + 3,i e z = 285 + 95,i

Resposta

As soluções da equação são
z = 2 + 3,i e z = 285 + 95,i

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