Encontre x e y na equação x1+i=y2-i+1-i 53-i 2, x in R, y in R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar (x,y)inR^2 que satisfazem a igualdade de números complexos
x1+i ;=;y2-i ;+;1-5i3-2i
O conteúdo é operações com números complexos: racionalizar denominadores e depois igualar parte real e parte imaginária para obter um sistema em x e y.

Passo 2

Racionalizamos o termo
1-5i3-2i
multiplicando numerador e denominador por 3+2i:
1-5i3-2i =(1-5i)(3+2i)(3-2i)(3+2i) =3+2i-15i-10i^29+4 =3-13i+1013 =13-13i13 =1-i

Passo 3

Expressamos
y2-i
racionalizando por 2+i:
y2-i =y(2+i)(2-i)(2+i) =2y+iy4+1 =2y5+y5,i
Então o lado direito vira
y2-i+(1-i) =l(1+2y5r) +l(y5-1r)i

Passo 4

Expressamos
x1+i
racionalizando por 1-i:
x1+i =x(1-i)(1+i)(1-i) =x-ix1+1 =x2-x2,i

Passo 5

Igualamos as partes real e imaginária de
x1+i =x2-x2i e y2-i+(1-i) =l(1+tfrac2y5r) +l(tfracy5-1r)i
Parte real:
x2=1+2y5 Longrightarrow x=2l(1+2y5r)=2+4y5
Parte imaginária:
-x2=y5-1 Longrightarrow x=2l(1-y5r)=2-2y5

Passo 6

Igualando as duas expressões de x:
2+4y5=2-2y5 Longrightarrow 4y5+2y5=0 Longrightarrow 6y5=0 Longrightarrow y=0
Substituindo y=0 em x=2+4y5 x=2.

Resposta

x=2, y=0.

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