Encontre x e y na equação x2+i+i y2-i=31-i 2, x in R, y in R.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x,yin R que satisfazem
x2+i + i,y2 - i = 31 - 2,i
Vamos usar operações com números complexos: racionalização de denominadores, separação em parte real e imaginária e resolução de um sistema linear.

Passo 2

Racionalizamos o primeiro termo:
x2+i = x(2-i)(2+i)(2-i) = x(2-i)5 = 2x5 - i,x5,
e o segundo termo:
i,y2-i = i,y,(2+i)(2-i)(2+i) = i,y,(2+i)5 = 2i,y + i^2,y5 = 2i,y - y5 = -y5 + i,2y5

Passo 3

Somando as duas frações do lado esquerdo:
x2+i + i,y2 - i = l(2x5 - y5r) + il(-x5 + 2y5r) = 2x - y5 + i,2y - x5

Passo 4

Racionalizamos o lado direito:
31 - 2i = 3(1+2i)(1-2i)(1+2i) = 3+6i5 = 35 + i,65

Passo 5

Igualando parte real e parte imaginária:
2x - y5 = 35, 2y - x5 = 65
Multiplicando ambos os lados por 5 obtém-se o sistema
2x - y = 3, 2y - x = 6

Passo 6

Resolvemos o sistema. Da primeira equação segue y = 2x - 3. Substituindo na segunda:
2(2x - 3) - x = 6 ;Longrightarrow; 4x - 6 - x = 6 ;Longrightarrow; 3x = 12 ;Longrightarrow; x = 4
Então
y = 2cdot 4 - 3 = 5

Resposta

x = 4,; y = 5.

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