Dado o número z=4+3 i, calcule o seu inverso, z^{-1}, na forma x+i y. Demonstre que o resultado satisfaz a condição z \cdot z^{-1}=1.

Passo 1

O enunciado pede o inverso de z=4+3i na forma x+iy e que verifiquemos z\cdot z^{-1}=1. O conteúdo envolve números complexos e a divisão de complexos, que se faz usando o conjugado:
z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo ao quadrado de z e o seu conjugado.
|z|^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25,
\overline{z} = 4 - 3i.
Logo,
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{4 - 3i}{25} = \frac{4}{25} - \frac{3}{25}\,i.

Passo 3

Agora verificamos que o produto com z 1:
(4 + 3i)\Bigl(\frac{4}{25} - \frac{3}{25}\,i\Bigr) = \frac{1}{25}\bigl(4\cdot4 - 4\cdot3i + 3i\cdot4 - 3i\cdot3i\bigr).
Dentro do parênteses,
4\cdot4 = 16,\quad -4\cdot3i + 3i\cdot4 = 0,\quad -3i\cdot3i = -9i^2 = +9.
Então
(4 + 3i)\Bigl(\frac{4}{25} - \frac{3}{25}\,i\Bigr) = \frac{16 + 9}{25} = \frac{25}{25} = 1.

Resposta

z^{-1} = \frac{4}{25} - \frac{3}{25}\,i,
e de fato z\cdot z^{-1}=1.

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