Encontre todos os números complexos z tais que z \cdot \bar{z}-5|z|+6=0. Justifique sua resposta, mostrando como a equação foi simplificada.

Passo 1

O enunciado pede todos os complexos z tais que
z\cdot\bar{z} - 5\,|z| + 6 = 0.
Para simplificar, usamos a definição de módulo de um número complexo: se escrevemos
r = |z|\ge0,
então vale a identidade
z\cdot\bar{z} = |z|^2 = r^2.
Assim, vamos reescrever a equação em função de r.

Passo 2

Substituindo z\bar z = r^2 e |z|=r na equação, obtemos o polinômio real
r^2 - 5r + 6 = 0.
Esse é um trinômio quadrático que fatoramos como
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3).
Logo, as raízes são
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = 3.

Passo 3

Como r=|z| deve ser não negativo, ambos os valores 2 e 3 são admissíveis. Isso significa que qualquer número complexo cuja distância até a origem seja 2 ou 3 satisfaz a equação dada.

Resposta

Todos os números complexos z tais que
|z| = 2 \quad\text{ou}\quad |z| = 3.

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