Encontre todos os números complexos
tais que
. Justifique sua resposta, mostrando como a equação foi simplificada.
Passo 1
O enunciado pede todos os complexos
tais que
Para simplificar, usamos a definição de módulo de um número complexo: se escrevemos
então vale a identidade
Assim, vamos reescrever a equação em função de
.
Passo 2
Substituindo
e
na equação, obtemos o polinômio real
Esse é um trinômio quadrático que fatoramos como
Logo, as raízes são
Passo 3
Como
deve ser não negativo, ambos os valores
e
são admissíveis. Isso significa que qualquer número complexo cuja distância até a origem seja
ou
satisfaz a equação dada.
Resposta
Todos os números complexos
tais que