Descreva o efeito geométrico (rotação e/ou escala) de se multiplicar um número complexo qualquer w por z=-2 i. Demonstre o efeito aplicando a operação em um número genérico w=x+y i.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o efeito geométrico de multiplicar um número complexo genérico \,w=x+yi
pelo número \,z=-2\,i.
Isso envolve ver como a multiplicação de complexos combina módulos (escala) e argumentos (rotação).

Passo 2

Lembrando a interpretação geométrica: se \,w=r\,e^{i\theta}
e \,z=\rho\,e^{i\varphi},
então
z\,w \;=\; r\,\rho\;e^{i(\theta+\varphi)}.
Logo, multiplicar por z escala o vetor de w em \rho e rotaciona em \varphi.

Passo 3

No nosso caso \,z=-2\,i.
Escrevendo em forma polar: \,-2\,i=2\cdot(-i)
e \,-i=e^{-i\pi/2}.
Logo
|z|=2, \quad \arg(z)=-\frac{\pi}{2}.
Portanto, multiplicar por -2\,i faz dilatação de fator 2 e rotação de -\pi/2 ( 90\circ no sentido horário).

Passo 4

Para ver isso por conta própria, calculemos \,-2\,i\,(x+yi):
-2\,i\,(x+yi) \;=\;-2ix\;-\;2i^2y \;=\;2y\;-\;2ix.
Em coordenadas reais, (x,y)\mapsto(2y,\,-2x).
Essa fórmula transforma \,(x,y)
num ponto obtido por rotacionar 90\circ no sentido horário e esticar em 2.

Resposta

Multiplicar por -2\,i equivale a uma rotação de -\tfrac{\pi}{2} ( 90\circ horário) seguida de uma escala uniformemente por 2.

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