Descreva o efeito geométrico (rotação e/ou escala) de se multiplicar um número complexo qualquer
por
. Demonstre o efeito aplicando a operação em um número genérico
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o efeito geométrico de multiplicar um número complexo genérico
pelo número .
Isso envolve ver como a multiplicação de complexos combina módulos (escala) e argumentos (rotação).
pelo número
Isso envolve ver como a multiplicação de complexos combina módulos (escala) e argumentos (rotação).
Passo 2
Lembrando a interpretação geométrica: se
e ,
então
e
então
Logo, multiplicar por
escala o vetor de
em
e rotaciona em
.
Passo 3
No nosso caso
.
Escrevendo em forma polar:
e .
Logo
Escrevendo em forma polar:
e
Logo
Portanto, multiplicar por
faz dilatação de fator
e rotação de
(
no sentido horário).
Passo 4
Para ver isso por conta própria, calculemos
:
Em coordenadas reais,
.
Essa fórmula transforma
num ponto obtido por rotacionar no sentido horário e esticar em
.
Essa fórmula transforma
num ponto obtido por rotacionar
Resposta
Multiplicar por
equivale a uma rotação de
(
horário) seguida de uma escala uniformemente por
.