Sejam z_{1}=2-i e z_{2}=1+3 i. Calcule a divisão \frac{z_{1}}{z_{2}}. Explique detalhadamente por que o método de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador é utilizado para efetuar essa operação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a divisão de dois números complexos \;z_{1}=2 - i e \;z_{2}=1 + 3i.
O conteúdo envolvido é a operação de divisão em \mathbb{C}, que exige “racionalizar” o denominador tornando-o real. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental do conjugado:
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\quad\text{é um número real.}
Passo 2
Para dividir \;z_{1} por \;z_{2} queremos um denominador real. Como \;z_{2}=1+3i, seu conjugado é \overline{z_{2}}=1-3i. Multiplicar numerador e denominador por \overline{z_{2}} não altera o quociente, mas transforma o denominador em
(1+3i)(1-3i)=1^2+(3)^2=10.
É exatamente o mesmo raciocínio de “racionalizar” o denominador em frações com raízes.
Passo 3
Multiplicamos agora numerador e denominador por 1-3i: