Sejam z_{1}=2-i e z_{2}=1+3 i. Calcule a divisão \frac{z_{1}}{z_{2}}. Explique detalhadamente por que o método de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador é utilizado para efetuar essa operação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divisão de dois números complexos \;z_{1}=2 - i e \;z_{2}=1 + 3i.
O conteúdo envolvido é a operação de divisão em \mathbb{C}, que exige “racionalizar” o denominador tornando-o real. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental do conjugado:
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\quad\text{é um número real.}éú

Passo 2

Para dividir \;z_{1} por \;z_{2} queremos um denominador real. Como \;z_{2}=1+3i, seu conjugado é \overline{z_{2}}=1-3i. Multiplicar numerador e denominador por \overline{z_{2}} não altera o quociente, mas transforma o denominador em
(1+3i)(1-3i)=1^2+(3)^2=10.
É exatamente o mesmo raciocínio de “racionalizar” o denominador em frações com raízes.

Passo 3

Multiplicamos agora numerador e denominador por 1-3i:
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{(2 - i)\,(1 - 3i)}{(1 + 3i)\,(1 - 3i)}.
Expandindo o numerador por FOIL:
(2 - i)(1 - 3i) =2\cdot1 + 2\cdot(-3i) - i\cdot1 - i\cdot(-3i) =2 -6i - i +3i^2 =2 -7i +3(-1) =-1 -7i.
E já vimos que o denominador vale 10.

Passo 4

Portanto
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{-1 -7i}{10} =-\frac{1}{10} - \frac{7}{10}i,
que é a forma padrão a+bi.

Resposta

\frac{z_{1}}{z_{2}} =-\frac{1}{10} - \frac{7}{10}i.

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