Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias em (Omega, F, P) então também são variáveis aleatórias:
X cdot Y

Passo 1

Vamos recapitular: o enunciado pede para mostrar que, dadas variáveis aleatórias X e Y em (Ω,F,ℙ), o produto X·Y também é variável aleatória. O conteúdo principal é a noção de variáveis aleatórias como funções mensuráveis e o fato de que composições de funções mensuráveis preservam a mensurabilidade. Vamos precisar usar que funções contínuas são mensuráveis no espaço de Borel.

Passo 2

Uma variável aleatória é uma função X:Ω→ℝ mensurável, ou seja, para todo a∈ℝ vale X^{-1}((−∞,a])∈F. Precisamos mostrar que (X·Y)^{-1}((−∞,a])∈F para todo a, ou então usar uma abordagem de composição de funções mensuráveis.

Passo 3

Definimos U:Ω→ℝ^2 por U(ω)=(X(ω),Y(ω)). As projeções coordenadas π₁(x,y)=x e π₂(x,y)=y são contínuas, logo mensuráveis; como X e Y são mensuráveis, U é mensurável (produto cartesiano de σ-álgebras).

Passo 4

A função de multiplicação m:ℝ^2→ℝ dada por m(x,y)=x·y é contínua em ℝ^2. Qualquer função contínua entre espaços métricos é mensurável em relação às σ-álgebras de Borel. Portanto, m é mensurável.

Passo 5

Finalmente, X·Y = m∘U. Como U é F/ℬ(ℝ^2)-mensurável e m é ℬ(ℝ^2)/ℬ(ℝ)-mensurável, a composição m∘U é F/ℬ(ℝ)-mensurável. Logo X·Y é variável aleatória.

Resposta

X·Y é variável aleatória pois é composição de funções mensuráveis.

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