Dado Omega=0,1^infty ser o espaço das sequências 0-1, e deixe F0 denotar a álgebra da união finita de conjuntos da forma
p in[0,1] Pp(An(epsilon1, ldots, epsilonn))=p^sum epsiloni(1-p)^n-sum epsiloni .
Fixe Pp e defina
F0
a) Mostre que a extensão naturalmente aditiva de F0 para Omega define uma medida na álgebra C subset F0. [Dica: pelo teorema de Tychonov da topologia, o conjunto F0 é compacto para a topologia do produto, verifique que os conjuntos Pp são abertos e fechados na topologia produto, de modo que, por compacidade, qualquer união disjunta enumerável pertencente a Pp deve ser uma união finita.]
b) Mostre que Xn(omega)=omegan, omega=(omega1, omega2,) tem uma única extensão para n=1, ldots. Esta probabilidade define a probabilidade do produto infinito. [Dica: aplique o Teorema de extensão de Carathéodory.]
c) Mostre que as funções projeções de coordenadas
para definem uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. de Bernoulli.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o espaço de sequências infinitas Ω={0,1}^∞ e a álgebra F₀ gerada pelos conjuntos cilindro Aₙ(ε₁,…,εₙ)={ω:ω₁=ε₁,…,ωₙ=εₙ}. Definimos em cada cilindro a probabilidade Pp(Aₙ(ε₁,,εₙ))=p^sum εi(1-p)^n-sum εi. Precisamos mostrar: a) isso dá medida em F₀; b) existe e é única extensão para σ(F₀) (produto infinito); c) as projeções coordenadas Xₙ(ω)=ωₙ são i.i.d. Bernoulli§.

Passo 2

Primeiro, note que cada cilindro Aₙ(ε₁,…,εₙ) é aberto e fechado (clopen) na topologia produto e que F₀ é fechado sob complementos e uniões finitas. Definimos P_p em cada cilindro e estendemos a uniões finitas por aditividade simples: se A e B são disjuntos em F₀, então Pp(A∪B)=Pp(A)+Pp(B).

Passo 3

Agora, para ver que P_p é de fato contavelmente aditiva em F₀, usamos compacidade de Ω (Teorema de Tychonoff): qualquer coleção enumerável de cilindros disjuntos em um espaço compacto que sejam abertos e fechados só pode ser finita. Logo, toda união enumerável disjunta em F₀ é na prática finita, e P_p a soma ainda vale. Concluímos que P_p é uma medida em F₀.

Passo 4

Para estender P_p a σ(F₀), aplicamos o Teorema de Extensão de Carathéodory. Como F₀ é uma álgebra que contém Ω, P_p(∅)=0, P_p(Ω)=1 e P_p é contavelmente aditiva em F₀, existe e é única a medida em σ(F₀) que coincide com P_p em F₀. Essa é a medida produto infinita.

Passo 5

Finalmente, as projeções Xₙ(ω)=ωₙ são variáveis aleatórias mensuráveis em σ(F₀). Para cada n temos P(Xₙ=1)=Pp(ω:ωₙ=1)=p e P(Xₙ=0)=1-p, ou seja Bernoulli§. Para qualquer conjunto finito de índices i₁,…,i_k e ε_j em {0,1}, o evento Xi₁=ε₁, , Xik=εk é um cilindro cuja probabilidade se fatoriza em p^∑εj(1-p)^k-∑εj=prodjP(Xij=εj), garantindo independência.

Passo 6

Portanto: a) P_p é medida em F₀; b) estende-se unicamente a σ(F₀) pela Carathéodory (medida produto); c) Xₙ são i.i.d. Bernoulli§.

Resposta

(a) A definição em cilindros estendida aditivamente a uniões finitas, junto com o fato de que em Ω compacto cilindros são clopen, faz toda união enumerável disjunta em F₀ ser finita, garantindo contável aditividade: P_p é medida em F₀.
(b) Pelo Teorema de Extensão de Carathéodory, existe e é única a extensão de P_p a σ(F₀), obtendo a medida produto infinita.
© As projeções Xₙ(ω)=ωₙ têm distribuição Bernoulli§ e são independentes, pois eventos que fixam diferentes coordenadas correspondem a cilindros cujas probabilidades se fatoram.

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