Dado
ser o espaço das sequências
, e deixe
denotar a álgebra da união finita de conjuntos da forma
.
Fixe
e defina
a) Mostre que a extensão naturalmente aditiva de
para
define uma medida na álgebra
. [Dica: pelo teorema de Tychonov da topologia, o conjunto
é compacto para a topologia do produto, verifique que os conjuntos
são abertos e fechados na topologia produto, de modo que, por compacidade, qualquer união disjunta enumerável pertencente a
deve ser uma união finita.]
b) Mostre que
tem uma única extensão para
. Esta probabilidade
define a probabilidade do produto infinito. [Dica: aplique o Teorema de extensão de Carathéodory.]
c) Mostre que as funções projeções de coordenadas
para
definem uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. de Bernoulli.
Fixe
b) Mostre que
c) Mostre que as funções projeções de coordenadas
Passo 1
Nesse exercício a gente tem o espaço de sequências infinitas Ω={0,1}^∞ e a álgebra F₀ gerada pelos conjuntos cilindro Aₙ(ε₁,…,εₙ)={ω:ω₁=ε₁,…,ωₙ=εₙ}. Definimos em cada cilindro a probabilidade
. Precisamos mostrar: a) isso dá medida em F₀; b) existe e é única extensão para σ(F₀) (produto infinito); c) as projeções coordenadas Xₙ(ω)=ωₙ são i.i.d. Bernoulli§.
Passo 2
Primeiro, note que cada cilindro Aₙ(ε₁,…,εₙ) é aberto e fechado (clopen) na topologia produto e que F₀ é fechado sob complementos e uniões finitas. Definimos P_p em cada cilindro e estendemos a uniões finitas por aditividade simples: se A e B são disjuntos em F₀, então
.
Passo 3
Agora, para ver que P_p é de fato contavelmente aditiva em F₀, usamos compacidade de Ω (Teorema de Tychonoff): qualquer coleção enumerável de cilindros disjuntos em um espaço compacto que sejam abertos e fechados só pode ser finita. Logo, toda união enumerável disjunta em F₀ é na prática finita, e P_p a soma ainda vale. Concluímos que P_p é uma medida em F₀.
Passo 4
Para estender P_p a σ(F₀), aplicamos o Teorema de Extensão de Carathéodory. Como F₀ é uma álgebra que contém Ω, P_p(∅)=0, P_p(Ω)=1 e P_p é contavelmente aditiva em F₀, existe e é única a medida em σ(F₀) que coincide com P_p em F₀. Essa é a medida produto infinita.
Passo 5
Finalmente, as projeções Xₙ(ω)=ωₙ são variáveis aleatórias mensuráveis em σ(F₀). Para cada n temos
e
, ou seja Bernoulli§. Para qualquer conjunto finito de índices i₁,…,i_k e ε_j em {0,1}, o evento
é um cilindro cuja probabilidade se fatoriza em
, garantindo independência.
Passo 6
Portanto: a) P_p é medida em F₀; b) estende-se unicamente a σ(F₀) pela Carathéodory (medida produto); c) Xₙ são i.i.d. Bernoulli§.
Resposta
(a) A definição em cilindros estendida aditivamente a uniões finitas, junto com o fato de que em Ω compacto cilindros são clopen, faz toda união enumerável disjunta em F₀ ser finita, garantindo contável aditividade: P_p é medida em F₀.
(b) Pelo Teorema de Extensão de Carathéodory, existe e é única a extensão de P_p a σ(F₀), obtendo a medida produto infinita.
© As projeções Xₙ(ω)=ωₙ têm distribuição Bernoulli§ e são independentes, pois eventos que fixam diferentes coordenadas correspondem a cilindros cujas probabilidades se fatoram.
(b) Pelo Teorema de Extensão de Carathéodory, existe e é única a extensão de P_p a σ(F₀), obtendo a medida produto infinita.
© As projeções Xₙ(ω)=ωₙ têm distribuição Bernoulli§ e são independentes, pois eventos que fixam diferentes coordenadas correspondem a cilindros cujas probabilidades se fatoram.