Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias em (Omega, F, P) então também são variáveis aleatórias:
X+Y

Passo 1

Vamos recapitular: temos duas variáveis aleatórias X e Y num espaço de probabilidade (Ω, F, P) e queremos mostrar que X+Y também é uma variável aleatória. Para isso vamos usar a definição de variável aleatória (measurabilidade) e o fato de F ser fechada para interseções finitas e uniões contáveis.

Passo 2

Por definição, X é variável aleatória se, para todo a∈ℝ, o conjunto {ω∈Ω : X(ω) ≤ a} pertence à σ-álgebra F. O mesmo vale para Y.

Passo 3

Definimos S(ω)=X(ω)+Y(ω) e consideramos o evento {S ≤ a} = {ω : X(ω)+Y(ω) ≤ a}. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto está em F para todo a∈ℝ.

Passo 4

Repare que X(ω)+Y(ω) ≤ a se, e somente se, existe um racional q tal que X(ω) ≤ q e Y(ω) ≤ a−q. Como ℚ é contável, podemos escrever
X+Y <= a=cupqinQl(X<= qcapY<= a-qr)

Passo 5

Cada {X ≤ q} e {Y ≤ a−q} está em F pela measurabilidade de X e de Y. Como F é fechada para interseções finitas, cada interseção {X ≤ q}∩{Y ≤ a−q} está em F, e como é fechada para uniões contáveis, a união sobre q∈ℚ também está em F.
Portanto, para todo a∈ℝ, temos {X+Y ≤ a}∈F. Isso mostra que X+Y é mensurável, ou seja, X+Y é uma variável aleatória.

Resposta

X+Y é variável aleatória porque, para todo a∈ℝ, o conjunto {X+Y ≤ a} pode ser escrito como união contável de interseções de conjuntos medíveis, logo pertence à σ-álgebra F.

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