Dado
e
:
a álgebra de Borel de
. Deixe
uma probabilidade finitamente aditiva em
. Mostre que
é uma medida de probabilidade em
se e somente se a função definida por
é não decrescente, continua a direita e satisfaz
e
.
Passo 1
Temos Ω=ℝ e a álgebra 𝓑₀(ℝ) gerada pelos intervalos do tipo (−∞,a]. Dado P finitamente aditiva em 𝓑₀, definimos a função de distribuição F(x)=P((−∞,x]). O objetivo é mostrar que P é contavelmente aditiva (isto é, medida de probabilidade) em 𝓑₀ se e somente se F for não decrescente, contínua à direita e satisfizer os limites nos infinitos.
Passo 2
Suponha que P seja uma medida de probabilidade em 𝓑₀. Então
– Se x≤y, temos (−∞,x]⊆(−∞,y], logo F(x)=P((−∞,x])≤P((−∞,y])=F(y). Assim F é não decrescente.
– Se x≤y, temos (−∞,x]⊆(−∞,y], logo F(x)=P((−∞,x])≤P((−∞,y])=F(y). Assim F é não decrescente.
Passo 3
– Para mostrar continuidade à direita, tome xₙ↓x. Então os conjuntos (−∞,xₙ] formam uma sequência decrescente cuja interseção é (−∞,x]. Como P é contidamente aditiva e finita, vale a continuidade de cima e obtemos limₙF(xₙ)=P(⋂ₙ(−∞,xₙ])=P((−∞,x])=F(x).
Passo 4
– Quando x→−∞, os intervalos (−∞,x] diminuem até ∅, então limₓ→−∞F(x)=P(∅)=0. De modo análogo, para x→+∞, (−∞,x] cresce até ℝ, logo limₓ→+∞F(x)=P(ℝ)=1.
Passo 5
Agora suponha que F seja não decrescente, contínua à direita e com limₓ→−∞F(x)=0, limₓ→+∞F(x)=1. Para concluir que P é contavelmente aditiva em 𝓑₀, basta mostrar continuidade de P de cima em sequências que tendem a ∅, pois finita aditividade + continuidade de cima implica contabilidade em álgebras.
Passo 6
Se Aₙ↓∅ com Aₙ∈𝓑₀, cada Aₙ é união finita disjunta de intervalos do tipo (a,b] ou (−∞,b]. Pela definição de P via F temos P((a,b])=F(b)−F(a). Como F é contínua à direita, ao ajustar pontas que convergem, cada P(Aₙ) tende a zero. Logo P(Aₙ)→0 e P satisfaz continuidade de cima. Portanto P é contavelmente aditiva em 𝓑₀.
Passo 7
Assim concluímos que P é medida de probabilidade em 𝓑₀(ℝ) se e somente se F satisfizer as propriedades pedidas.
Resposta
P é medida de probabilidade em 𝓑₀(ℝ) sse F é não decrescente, contínua à direita, com limₓ→−∞F(x)=0 e limₓ→+∞F(x)=1.