Suponha que mu1 e mu2 são medidas em sigmalang<=F0rang<= geradas pela classe F0. Suponha também que a desigualdade
mu1(A) <= mu2(A)
é válida para todo A em F0.
a) Mostre que se F0 é uma álgebra e mu1 e mu2 são sigma-finitas em F0, então (1) vale para todo A in sigmalang<=F0rang<=.
(Dica: primeiramente trate o caso em que mu2 é finita.)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma classe geradora F0 que é uma álgebra, e duas medidas mu1 e mu2 em sigmalang<=F0rang<= tais que mu1(A)<=mu2(A) para todo AinF0. O objetivo é mostrar que essa desigualdade se estende a qualquer Ainsigmalang<=F0rang<=, assumindo ainda que ambas as medidas são sigma-finitas em F0. Vamos usar propriedades de medida (monotonicidade, aditividade contável, complemento) e o fato de F0 ser uma álgebra.

Passo 2

Primeiro tratamos o caso em que mu2 é finita. Definimos
G = lAin sigmalang<=F0rang<= : mu1(A) <= mu2(A)r
Note que por hipótese toda AinF0 satisfaz mu1(A)<=mu2(A), logo F0subset G.
Agora mostramos que G é uma sigma-álgebra: primeiro emptysetin G porque 0=mu1(emptyset)<=mu2(emptyset)=0. Em seguida, se Ein G, usamos finitude de mu2 e as propriedades de complemento das medidas para obter
mu1(E^c)=mu1(Omega)-mu1(E)<=mu2(Omega)-mu1(E)<=mu2(Omega)-mu2(E)=mu2(E^c),
o que mostra E^cin G. Por fim, se (Ei)i>=1subset G, então pela aditividade contável e monotonicidade temos
mu1l(cupi=1^infty Eir)<=sumi=1^inftymu1(Ei)<=sumi=1^inftymu2(Ei)=mu2l(cupi=1^infty Eir),
o que implica cupi Eiin G. Assim G é sigma-álgebra contendo F0, logo contém sigmalang<=F0rang<=. Concluímos que
mu1(A)<=mu2(A)forall Ainsigmalang<=F0rang<=
no caso mu2 finita.

Passo 3

Para passar ao caso sigma-finito de mu2, escolhemos uma sequência de conjuntos disjuntos (En)subsetF0 tal que
cupn=1^infty En=Omega,mu2(En)
Dado Ainsigmalang<=F0rang<=, escrevemos
A=cupn=1^infty (Acap En),
e aplicamos o resultado do caso finito a cada Acap Eninsigmalang<=F0rang<=, obtendo
mu1(Acap En)<=mu2(Acap En)forall n
Finalmente, pela aditividade contável,
mu1(A)=sumn=1^inftymu1(Acap En)<=sumn=1^inftymu2(Acap En)=mu2(A)

Passo 4

Com isso, provamos que mu1(A)<=mu2(A) para todo Ainsigmalang<=F0rang<= mesmo no caso sigma-finito.

Resposta

Para qualquer Ainsigmalang<=F0rang<=, vale mu1(A)<=mu2(A).

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