Suponha que
e
são medidas em
geradas pela classe
. Suponha também que a desigualdade
é válida para todo
em
.
a) Mostre que se
é uma álgebra e
e
são
-finitas em
, então (1) vale para todo
.
(Dica: primeiramente trate o caso em que
é finita.)
a) Mostre que se
(Dica: primeiramente trate o caso em que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma classe geradora
que é uma álgebra, e duas medidas
e
em
tais que
para todo
. O objetivo é mostrar que essa desigualdade se estende a qualquer
, assumindo ainda que ambas as medidas são
-finitas em
. Vamos usar propriedades de medida (monotonicidade, aditividade contável, complemento) e o fato de
ser uma álgebra.
Passo 2
Primeiro tratamos o caso em que
é finita. Definimos
Note que por hipótese toda
satisfaz
, logo
.
Agora mostramos que é uma
-álgebra: primeiro
porque
. Em seguida, se
, usamos finitude de
e as propriedades de complemento das medidas para obter
Agora mostramos que
o que mostra
. Por fim, se
, então pela aditividade contável e monotonicidade temos
o que implica
. Assim
é
-álgebra contendo
, logo contém
. Concluímos que
no caso
finita.
Passo 3
Para passar ao caso
-finito de
, escolhemos uma sequência de conjuntos disjuntos
tal que
Dado
, escrevemos
e aplicamos o resultado do caso finito a cada
, obtendo
Finalmente, pela aditividade contável,
Passo 4
Com isso, provamos que
para todo
mesmo no caso
-finito.
Resposta
Para qualquer
, vale
.