Seja Omega um espaço métrico com distância d. Omega é dito separável se existe um conjunto enumerável Omega0 subset Omega que é denso em Omega (i.e., todo ponto em Omega é limite de uma sequência de pontos em Omega0 ).
a) Mostre que sigmalang<= bolas abertas em Omegarang<= subset B(Omega)

Passo 1

A questão pede para mostrar que a σ-álgebra gerada pelas bolas abertas em Ω está contida na σ-álgebra de Borel de Ω. O conteúdo principal é teoria de σ-álgebras e geração de σ-álgebras por coleções de conjuntos, em particular pela família de bolas abertas.

Passo 2

Note que toda bola aberta em Ω é, por definição, um conjunto aberto na topologia métrica. Assim, a coleção de todas as bolas abertas é um subconjunto da coleção de todos os conjuntos abertos de Ω.

Passo 3

Pela propriedade de monotonicidade da geração de σ-álgebras, se A⊂B então σ⟨A⟩⊂σ⟨B⟩. Aplicando isso ao caso em que A é a família de bolas abertas e B é a família de todos os conjuntos abertos, obtemos σ⟨bolas abertas⟩⊂σ⟨conjuntos abertos⟩.

Passo 4

Como a σ-álgebra de Borel B(Ω) é justamente σ⟨conjuntos abertos⟩, concluímos que σ⟨bolas abertas⟩⊂B(Ω).

Resposta

σ⟨bolas abertas em Ω⟩ ⊂ 𝓑(Ω)

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