Seja
um espaço métrico com distância d.
é dito separável se existe um conjunto enumerável
que é denso em
(i.e., todo ponto em
é limite de uma sequência de pontos em
).
a) Mostre que
bolas abertas em
a) Mostre que
Passo 1
A questão pede para mostrar que a σ-álgebra gerada pelas bolas abertas em Ω está contida na σ-álgebra de Borel de Ω. O conteúdo principal é teoria de σ-álgebras e geração de σ-álgebras por coleções de conjuntos, em particular pela família de bolas abertas.
Passo 2
Note que toda bola aberta em Ω é, por definição, um conjunto aberto na topologia métrica. Assim, a coleção de todas as bolas abertas é um subconjunto da coleção de todos os conjuntos abertos de Ω.
Passo 3
Pela propriedade de monotonicidade da geração de σ-álgebras, se A⊂B então σ⟨A⟩⊂σ⟨B⟩. Aplicando isso ao caso em que A é a família de bolas abertas e B é a família de todos os conjuntos abertos, obtemos σ⟨bolas abertas⟩⊂σ⟨conjuntos abertos⟩.
Passo 4
Como a σ-álgebra de Borel B(Ω) é justamente σ⟨conjuntos abertos⟩, concluímos que σ⟨bolas abertas⟩⊂B(Ω).
Resposta
σ⟨bolas abertas em Ω⟩ ⊂ 𝓑(Ω)