Todos os subconjuntos contáveis, co-contáveis (i.e. complementos de conjuntos contáveis) e perfeitos de (0,1] estão em B((0,1]). Em particular, o conjunto dos números irracionais em ( 0,1 ] é um conjunto de Borel.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo conjunto contável, co-contável e perfeito em (0,1] pertence à σ-álgebra de Borel em (0,1]; em particular, que o conjunto dos irracionais em (0,1] é um conjunto de Borel. Vamos usar fatos básicos sobre a construção da σ-álgebra de Borel: ela contém todos os fechados e é estável por uniões e complementos contáveis.

Passo 2

Em primeiro lugar, note que todo singleton xsubset(0,1] é um conjunto fechado em (0,1] (pois é interseção de (0,1] com o fechado x em R). Logo x está em B((0,1]).
Como toda união contável de conjuntos de Borel também é Borel, qualquer conjunto contável em (0,1] — que é união de singletons — pertence a B((0,1]).

Passo 3

A σ-álgebra de Borel é estável por complementação, então todo conjunto co-contável (complemento de um conjunto contável) em (0,1] também pertence a B((0,1]).

Passo 4

Qualquer conjunto perfeito em (0,1] é fechado em (0,1] (por definição de perfeito no espaço topológico), e todo fechado está em B((0,1]).

Passo 5

Em particular, as frações (números racionais) em (0,1] formam um conjunto contável, logo seus complementos — os irracionais em (0,1] — são co-contáveis e pertencem a B((0,1]).

Resposta

O conjunto dos números irracionais em (0,1] pertence à σ-álgebra de Borel em (0,1], ou seja, é um conjunto de Borel.

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