Dado o Operador T(x, y, z)=(x+ y, y, z), então podemos afirmar que:
a) O operador tem 2 autovalores distintos.
b) O operador tem 3 autovalores idênticos.
c) O operador não admite autovalores.
d) O operador tem 2 autovalores idênticos.
e) O operador tem apenas um autovalor.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x+y,,y,,z)
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via a matriz de T na base canônica e sua característica.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.
  • T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0) dá a primeira coluna 100.
  • T(e2)=T(0,1,0)=(1,1,0) dá a segunda coluna 110.
  • T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,1) dá a terceira coluna 001.
    Logo,
A = [T] = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para os autovalores, calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = (1-lambda)^3
A única raiz é lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Concluímos que há apenas o autovalor lambda=1 repetido três vezes. Ou seja, três autovalores idênticos.

Resposta

b) O operador tem 3 autovalores idênticos.

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