Seja x0 e A descritos abaixo. Se definirmos a sequência: x1=A x0 ; x2=A x1 ; x2= A x1 ; ldots ; xk=A xk-1. Determine o valor de lim n infty xn, com
x0=[l 0,03 0,97 ] A=[ll 0,55 & 0,45 0,45 & 0,55 ]
A tem como autovalores 1 e 0,1 .
DICA: Note que:
x2=A x1=A(A x0)=A^2 x0 ; x3=A x2=A(A^2 x0)=A^3 x0
Lembre-se que A pode ser escrito como A=P D P^-1 e, portanto:
A^2=P D^2 P^-1 ; A^3=P D^3 P^-1 ; ldots
Logo:
lim n infty A^n=lim n infty P D^n P-1=Plim n infty[cc lambda1^n & 0 0 & lambda2^n ] P^-1
OBS: Muito cuidado com os arredondamentos aqui, pois eles podem fazer uma diferença gigantesca no resulado final.

Passo 1

O enunciado define a sequência de vetores
xn=A,xn-1, x0=0,030,97,; A=0,55&0,45[4pt]0,45&0,55,
e pede limntoinftyxn.
Como A é simétrica e diagonalizável, vamos usar a fatoração
A=PDP^-1, A^n=PD^nP^-1,
de modo a aplicar A^n em vec x0 e estudar o limite de D^n.]

Passo 2

Como dado, os autovalores de A são
lambda1=1, lambda2=0,1
Os autovetores correspondentes são:
para lambda1=1,
(A-I),v=0 ;Longrightarrow; v1=11,
para lambda2=0,1,
(A-0,1I),v=0 ;Longrightarrow; v2=1-1
Normalizando-os para termos uma base ortonormal, definimos
hat v1=1raiz211, hat v2=1raiz21-1,
de modo que P=[hat v1,hat v2] é ortogonal e P^-1=P^T.

Passo 3

Escrevemos vec x0 na base hat v1,hat v2:
vec x0=alpha,hat v1+beta,hat v2,
onde
alpha=hat v1^Tvec x0, beta=hat v2^Tvec x0

Passo 4

Aplicando A^n em vec x0 obtemos
vec xn=A^nvec x0 =alpha,lambda1^n,hat v1+beta,lambda2^n,hat v2 =alpha,1^n,hat v1+beta,(0,1)^n,hat v2
Como (0,1)^nto0 quando ntoinfty, o segundo termo desaparece e
limntoinftyvec xn =alpha,hat v1

Passo 5

Calculamos alpha:
alpha=hat v1^Tvec x0 =1raiz2l(0,03+0,97r) =1raiz2times1 =1raiz2
Logo
limntoinftyvec xn =1raiz2,1raiz211 =1211 =0,50,5

Resposta

limntoinftyxn =0,50,5

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