Seja
e
descritos abaixo. Se definirmos a sequência:
. Determine o valor de
, com
A tem como autovalores 1 e 0,1 .
DICA: Note que:
x2=A x1=A(A x0)=A^2 x0 ; x3=A x2=A(A^2 x0)=A^3 x0
Lembre-se que
A pode ser escrito como
A=P D P^-1 e, portanto:
A^2=P D^2 P^-1 ; A^3=P D^3 P^-1 ; ldots
Logo:
lim n infty A^n=lim n infty P D^n P-1=Plim n infty[cc lambda1^n & 0 0 & lambda2^n ] P^-1
OBS: Muito cuidado com os arredondamentos aqui, pois eles podem fazer uma diferença gigantesca no resulado final.
DICA: Note que:
Passo 1
O enunciado define a sequência de vetores
e pede
limntoinftyxn .
ComoA é simétrica e diagonalizável, vamos usar a fatoração
Como
de modo a aplicar
A^n em
vec x0 e estudar o limite de
D^n .]
Passo 2
Como dado, os autovalores de
A são
Os autovetores correspondentes são:
paralambda1=1 ,
para
para
lambda2=0,1 ,
Normalizando-os para termos uma base ortonormal, definimos
de modo que
P=[hat v1,hat v2] é ortogonal e
P^-1=P^T .
Passo 3
Escrevemos
vec x0 na base
hat v1,hat v2 :
onde
Passo 4
Aplicando
A^n em
vec x0 obtemos
Como
(0,1)^nto0 quando
ntoinfty , o segundo termo desaparece e
Passo 5
Calculamos
alpha :
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