O operador linear do R^2 cujos autovalores são lambda1=1 e lambda2=3 associados aos autovetores v1= (y,-y) e v2=(0, y), respectivamente, tem a sua Lei expressa por?
a) T(x, y)=(2 x-y, 5 x-y)
b) T(x, y, z)=(x, y, z)
c) T(x, y)=(x-y, y)
d) T(x, y)=(x, 2 x+3 y)
e) T(x, y)=(3 x-2 y, x)

Passo 1

O enunciado quer a expressão de um operador linear TcolonR^2toR^2 que tem autovalores
lambda1=1e lambda2=3
com autovetores associados, respectivamente,
v1=(y,-y)(ie direção (1,-1)), v2=(0,y)(ie direção (0,1)) çãçã
O conteúdo da matéria é diagonalização (ou mudança de base para a base de autovetores) e depois transformação de volta para a base canônica.

Passo 2

Escolhemos uma base de autovetores independentemente dos parâmetros y. Por exemplo, tomamos
u1=(1,-1), u2=(0,1),
de modo que T(u1)=1cdot u1 e T(u2)=3cdot u2. Montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são u1,u2:
P=1&0-1&1

Passo 3

Na base de autovetores T é representado pela diagonal
D=1&00&3
A matriz de T na base canônica é
T = P,D,P^-1
Calculamos P^-1. Como det P=1,
P^-1=1&01&1

Passo 4

Agora multiplica-se em duas etapas:
D,P^-1 =1&00&3 1&01&1 =1&03&3,
P,(D,P^-1) =1&0-1&1 1&03&3 =1&02&3

Passo 5

A matriz de T na base canônica é
1&02&3,
logo para todo (x,y)inR^2,
T(x,y)=(1cdot x+0cdot y,;2cdot x+3cdot y)=(x,;2x+3y)

Resposta

d) T(x,y)=(x,,2x+3y)

Exercícios relacionados