Dado o operador linear T : I R^{3} \rightarrow I R^{3}, T(x, y, z)=(x+2 y+3 z,-y+2 z, 2 z). Calcular:
Os autovalores e autovetores do operador;

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x + 2y + 3z,\;-y + 2z,\;2z\,).
Queremos encontrar os autovalores e autovetores de T. Para isso, vamos montar a matriz que representa T na base canônica, calcular seu polinômio característico e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v = 0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z) = \bigl(1\cdot x + 2\cdot y + 3\cdot z,\;0\cdot x -1\cdot y + 2\cdot z,\;0\cdot x +0\cdot y +2\cdot z\bigr).

Passo 3

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo,
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -1,\quad \lambda_3 = 2.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A - \lambda I)v = 0.
Para \lambda = 1 temos
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Da terceira linha vem z=0. Substituindo na segunda, -2y=0 implica y=0. Então x é livre e podemos escolher
v_1 = (1,0,0).
Para \lambda = -1 temos
A + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 2z=0, logo z=0. Da primeira, 2x+2y=0 x=-y. Assim podemos tomar
v_2 = (-1,1,0).
Para \lambda = 2 temos
A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & -3 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Da segunda linha vem -3y + 2z = 0, ou seja z = \tfrac32\,y. Na primeira,
-x + 2y + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2y + 3z = 2y + \tfrac92\,y = \tfrac{13}{2}\,y.
Escolhendo y=2 para evitar frações, obtemos
v_3 = (13,2,3).

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -1,\quad \lambda_3 = 2.
Autovetores associados podem ser tomados como
v_1 = (1,0,0),\quad v_2 = (-1,1,0),\quad v_3 = (13,2,3).

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