Dados os operadores lineares em IR { }^{3}, abaixo, podemos afirmar que:
(vale 1,0 ponto)
\mathrm{T}_{1}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y}, \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{z})
\mathrm{T}_{2}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+2 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z})
(a) O operador \mathrm{T}_{1} é um isomorfismo
(b) O operador \mathrm{T}_{2} é um isomorfismo
(c) Nenhum operador é isomorfismo
(d) Todos os operadores são isomorfismos.

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^3:
T_{1}(x,y,z) = (2x + y,\;y,\;x + 2y + z),
T_{2}(x,y,z) = (2x + z,\;4x + 2z,\;4x + 2y - z).
Para decidir quais são isomorfismos, basta verificar se as matrizes associadas têm determinante não nulo (o que garante inversibilidade).

Passo 2

Montamos a matriz de T_{1} em relação à base canônica:
A_{1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A_{1}).

Passo 3

Para \det(A_{1}) notamos que a terceira coluna tem apenas um 1 na posição (3,3). Assim,
\det(A_{1}) = 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - 1\cdot0 = 2 \neq 0.
Logo T_{1} é invertível, ou seja, é isomorfismo.

Passo 4

Agora a matriz de T_{2} em relação à base canônica:
A_{2} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 4 & 0 & 2 \\\\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A_{2}).

Passo 5

Computando o determinante de A_{2},
\det(A_{2}) = 2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix} = 2(0\cdot(-1)-2\cdot2) + (4\cdot2 - 0\cdot4) = 2(-4) + 8 = -8 + 8 = 0.
Logo T_{2} não é invertível, não é isomorfismo.

Resposta

(a) O operador T_{1} é um isomorfismo.

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