Dados os operadores lineares em IR { }^{3}, abaixo, podemos afirmar que:
(vale 1,0 ponto) \mathrm{T}_{1}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y}, \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{z}) \mathrm{T}_{2}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+2 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z})
(a) O operador \mathrm{T}_{1} é um isomorfismo
(b) O operador \mathrm{T}_{2} é um isomorfismo
(c) Nenhum operador é isomorfismo
(d) Todos os operadores são isomorfismos.
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^3:
T_{1}(x,y,z) = (2x + y,\;y,\;x + 2y + z),
T_{2}(x,y,z) = (2x + z,\;4x + 2z,\;4x + 2y - z).
Para decidir quais são isomorfismos, basta verificar se as matrizes associadas têm determinante não nulo (o que garante inversibilidade).
Passo 2
Montamos a matriz de T_{1} em relação à base canônica: