Sejam as bases do \operatorname{IR}^{3}: \operatorname{A}=\{(1,0,0),(1,2,1),(0,0,1)\} \mathrm{e} \mathrm{B}=\{(1,0,-1),(0,0,-1),(-1,1,1)\}. Calcule:
a) [\mathrm{I}]_{\mathrm{B}}^{\mathrm{A}}
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3: \displaystyle A=\{a_1,a_2,a_3\} com
Pede-se [I]_B^A, que é a matriz de mudança de coordenadas da base B para a base A. Para construí-la, vamos escrever cada b_j como combinação linear dos vetores de A.
Passo 2
Seja (c_1,c_2,c_3) as coordenadas de um vetor b na base A. Então
c_1\,a_1 + c_2\,a_2 + c_3\,a_3 \;=\; b.
As colunas de [I]_B^A serão exatamente esses vetores (c_1,c_2,c_3) para cada b_j.
Passo 3
Para b_1=(1,0,-1)\) resolvemos
\[c_1(1,0,0) + c_2(1,2,1) + c_3(0,0,1) = (1,0,-1).