Sejam as bases do \operatorname{IR}^{3}: \operatorname{A}=\{(1,0,0),(1,2,1),(0,0,1)\} \mathrm{e} \mathrm{B}=\{(1,0,-1),(0,0,-1),(-1,1,1)\}. Calcule:
a) [\mathrm{I}]_{\mathrm{B}}^{\mathrm{A}}

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
\displaystyle A=\{a_1,a_2,a_3\} com
a_1=(1,0,0),\quad a_2=(1,2,1),\quad a_3=(0,0,1)
e
\displaystyle B=\{b_1,b_2,b_3\} com
b_1=(1,0,-1),\quad b_2=(0,0,-1),\quad b_3=(-1,1,1).
Pede-se [I]_B^A, que é a matriz de mudança de coordenadas da base B para a base A. Para construí-la, vamos escrever cada b_j como combinação linear dos vetores de A.

Passo 2

Seja (c_1,c_2,c_3) as coordenadas de um vetor b na base A. Então
c_1\,a_1 + c_2\,a_2 + c_3\,a_3 \;=\; b.
As colunas de [I]_B^A serão exatamente esses vetores (c_1,c_2,c_3) para cada b_j.

Passo 3

Para b_1=(1,0,-1)\) resolvemos \[c_1(1,0,0) + c_2(1,2,1) + c_3(0,0,1) = (1,0,-1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 1,\\\\ 2c_2 = 0,\\\ c_2 + c_3 = -1. \end{cases}
Da segunda equação c_2=0\]. Então \(c_1=1 e c_3=-1. Logo as coordenadas de b_1 em A são
(1,0,-1).

Passo 4

Para b_2=(0,0,-1) temos o mesmo tipo de sistema:
c_1 + c_2 = 0,\quad 2c_2 = 0,\quad c_2 + c_3 = -1.
Novamente c_2=0, daí c_1=0 e c_3=-1. As coordenadas de b_2 em A são
(0,0,-1).

Passo 5

Para b_3=(-1,1,1) o sistema é
c_1 + c_2 = -1,\quad 2c_2 = 1,\quad c_2 + c_3 = 1.
Da segunda equação c_2=\tfrac12. Então c_1=-1-\tfrac12=-\tfrac32 e c_3=1-\tfrac12=\tfrac12. As coordenadas de b_3 em A são
\Bigl(-\tfrac32,\;\tfrac12,\;\tfrac12\Bigr).

Passo 6

Agora montamos \left[I\right]_B^A juntando essas coordenadas coluna a coluna, na ordem b_1,b_2,b_3:
\left[I\right]_B^A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[3pt] -1 & -1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_B^A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac32\\\\ 0 & 0 & \tfrac12\\\\ -1 & -1 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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