Dados os operadores lineares abaixo, podemos afirmar que:
(a) O operador
é ortogonal
(b) O operador
é ortogonal
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais
(b) O operador
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares em
:
Queremos saber quais destes são ortogonais. Lembrando que um operador linear
é ortogonal se, na base padrão, sua matriz
satisfaz
ou seja, as colunas de
formam uma base ortonormal em
.
Passo 2
Vamos examinar
. Tomando a base canônica
:
Logo, a matriz de
na base padrão é
cujas colunas são
,
,
.
Verificando as normas e produtos internos:
Verificando as normas e produtos internos:
Portanto
e
é ortogonal.
Passo 3
Agora
. Novamente na base padrão:
Assim a matriz é
cuja segunda coluna
tem norma
. Logo as colunas não são todas unitárias e nem mutuamente ortogonais, de modo que
. Portanto
não é ortogonal.
Passo 4
Concluímos que apenas
é ortogonal.
Resposta
(a) O operador
é ortogonal.