Dados os operadores lineares abaixo, podemos afirmar que:
\begin{aligned} & T_{1}: I^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T_{1}(x, y, z)=(z, y,-x) \\\ & T_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T_{2}(x, y, z)=(x+y+z, y+z, z) \end{aligned}
(a) O operador T_{1} é ortogonal
(b) O operador \mathrm{T}_{2} é ortogonal
(c) Nenhum operador é ortogonal
(d) Todos os operadores são ortogonais

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^3:
T_{1}(x,y,z) = (z,y,-x), \quad T_{2}(x,y,z) = (x+y+z,\;y+z,\;z).
Queremos saber quais destes são ortogonais. Lembrando que um operador linear T é ortogonal se, na base padrão, sua matriz M satisfaz
M^{T}M = I,
ou seja, as colunas de M formam uma base ortonormal em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos examinar T_{1}. Tomando a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}:
T_{1}(e_{1}) = T_{1}(1,0,0) = (0,0,-1),\quad T_{1}(e_{2}) = (0,1,0),\quad T_{1}(e_{3}) = (1,0,0).
Logo, a matriz de T_{1} na base padrão é
M_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & 0 \end{pmatrix},
cujas colunas são
\mathbf v_{1}=(0,0,-1),
\mathbf v_{2}=(0,1,0),
\mathbf v_{3}=(1,0,0).
Verificando as normas e produtos internos:
\|\mathbf v_{i}\|=1\quad(i=1,2,3), \qquad \mathbf v_{i}\cdot\mathbf v_{j}=0\;(i\neq j).
Portanto M_{1}^{T}M_{1}=I e T_{1} é ortogonal.

Passo 3

Agora T_{2}. Novamente na base padrão:
T_{2}(e_{1}) = (1,0,0),\quad T_{2}(e_{2}) = (1,1,0),\quad T_{2}(e_{3}) = (1,1,1).
Assim a matriz é
M_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
cuja segunda coluna (1,1,0) tem norma \sqrt{2}\neq1. Logo as colunas não são todas unitárias e nem mutuamente ortogonais, de modo que M_{2}^{T}M_{2}\neq I. Portanto T_{2} não é ortogonal.

Passo 4

Concluímos que apenas T_{1} é ortogonal.

Resposta

(a) O operador T_{1} é ortogonal.

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