Dado o operador T: R^2 R^2, onde T(1,2)=1(1,2) e T(0,1)=-1(0,1). Então, encontre
e^[T].

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 que tem dois autovetores
v1=(1,2), v2=(0,1)
com autovalores
lambda1=1, lambda2=-1
O conteúdo aqui é exponenciação de operador, que se faz via diagonalização: se T=PDP^-1 com D diagonal, então
e^T = P,e^D,P^-1,
onde e^D é a exponencial da matriz diagonal.

Passo 2

Montamos a matriz de transição P cujas colunas são os autovetores v1 e v2:
P = 1 & 0 2 & 1
Como det P =1, a inversa é
P^-1 = 1 & 0 -2 & 1

Passo 3

A matriz diagonal de T é
D = 1 & 0 0 & -1 ,
cuja exponencial é feita elemento a elemento:
e^D = e^1 & 0 0 & e^-1 = e & 0 0 & e^-1

Passo 4

Aplicando a fórmula e^T = P,e^D,P^-1, temos primeiro
P,e^D = 1 & 0 2 & 1 e & 0 0 & e^-1 = e & 0 2e & e^-1

Passo 5

Agora multiplicamos pelo P^-1:
e^T = e & 0 2e & e^-1 1 & 0 -2 & 1 = ecdot1+0cdot(-2) & ecdot0+0cdot1 2ecdot1 + e^-1cdot(-2) & 2ecdot0 + e^-1cdot1 = e & 0 2e - 2e^-1 & e^-1

Resposta

e^[T] = e & 0 2e - 2e^-1 & e^-1

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