Esboce no plano
a cônica dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar no plano
a cônica dada pela equação:
Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com cônicas. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de cônica é essa e depois transformar a equação para uma forma mais fácil de desenhar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos tratando. A equação geral de uma cônica é:
No nosso caso, temos:
-
-
-
(não tem termo ) -
-
(não tem termo ) -
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante
.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como
, isso indica que a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora, para facilitar o esboço, vamos eliminar o termo
que está complicando as coisas. Isso envolve uma rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Substituindo os valores:
Então,
Calculando:
Passo 5
Com o ângulo
encontrado, aplicamos a mudança de coordenadas para eliminar o termo
. As novas coordenadas
são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação original e simplificar.
Passo 6
Após substituir e simplificar, a equação fica na forma padrão de uma hipérbole:
Onde
e
são constantes que determinam as dimensões da hipérbole.
Passo 7
Agora, identificamos os valores de
e
a partir da equação simplificada e determinamos os assíntotas da hipérbole, que são as linhas que a hipérbole se aproxima.
Passo 8
Com todas as informações, podemos esboçar a hipérbole no plano
. Lembrando de reverter a rotação dos eixos para voltar às coordenadas originais.
Resposta
A cônica dada é uma hipérbole, cujo esboço no plano
apresenta dois ramos simétricos em relação ao centro, com assíntotas determinadas pelo cálculo realizado após a rotação dos eixos. O esboço mostra a hipérbole alinhada conforme os cálculos feitos.