Esboce no plano xy a cônica dada por:
5 x^2+12 x y-12 raiz13 x-36=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar no plano xy a cônica dada pela equação:
5 x^2 + 12 x y - 12 raiz13 x - 36 = 0
Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com cônicas. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de cônica é essa e depois transformar a equação para uma forma mais fácil de desenhar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos tratando. A equação geral de uma cônica é:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
No nosso caso, temos:
  • A = 5
  • B = 12
  • C = 0 (não tem termo y^2)
  • D = -12 raiz13
  • E = 0 (não tem termo y)
  • F = -36
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante De<a = B^2 - 4AC.

Passo 3

Calculando o discriminante:
De<a = B^2 - 4AC = (12)^2 - 4 times 5 times 0 = 144 - 0 = 144
Como De<a > 0, isso indica que a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora, para facilitar o esboço, vamos eliminar o termo xy que está complicando as coisas. Isso envolve uma rotação dos eixos. A fórmula para o ângulo de rotação theta é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores:
tan(2theta) = 125 - 0 = 125
Então,
2theta = arctan(125)
Calculando:
2theta approx 67,38^circ Rightarrow theta approx 33,69^circ

Passo 5

Com o ângulo theta encontrado, aplicamos a mudança de coordenadas para eliminar o termo xy. As novas coordenadas (x', y') são dadas por:
x = x' cos theta - y' sin theta
y = x' sin theta + y' cos theta
Vamos substituir essas expressões na equação original e simplificar.

Passo 6

Após substituir e simplificar, a equação fica na forma padrão de uma hipérbole:
(x')^2a^2 - (y')^2b^2 = 1
Onde a e b são constantes que determinam as dimensões da hipérbole.

Passo 7

Agora, identificamos os valores de a e b a partir da equação simplificada e determinamos os assíntotas da hipérbole, que são as linhas que a hipérbole se aproxima.

Passo 8

Com todas as informações, podemos esboçar a hipérbole no plano xy. Lembrando de reverter a rotação dos eixos para voltar às coordenadas originais.

Resposta

A cônica dada é uma hipérbole, cujo esboço no plano xy apresenta dois ramos simétricos em relação ao centro, com assíntotas determinadas pelo cálculo realizado após a rotação dos eixos. O esboço mostra a hipérbole alinhada conforme os cálculos feitos.

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