Dado o operador T: R^2 R^2, onde T(1,2)=1(1,2) e T(0,1)=-1(0,1). Então, encontre
A diagonalização de [T].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear T: R^2 R^2 que atua de maneira específica em dois vetores: (1, 2) e (0, 1) . Nosso objetivo é encontrar a diagonalização da matriz representativa de T , ou seja, encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante à matriz de T . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, operadores lineares, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o operador T está definido. Sabemos que:
T(1, 2) = 1 cdot (1, 2) = (1, 2)
T(0, 1) = -1 cdot (0, 1) = (0, -1)
Isso nos mostra que (1, 2) e (0, 1) são autovetores de T com autovalores 1 e -1 , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz [T] na base padrão e1, e2 , onde e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) . Para isso, precisamos expressar T(e1) e T(e2) em termos da base padrão.
Sabemos que (1, 2) e (0, 1) são combinações lineares de e1 e e2 . Vamos resolver para encontrar T(e1) e T(e2) .
Temos:
(1, 2) = e1 + 2e2
(0, 1) = 0e1 + e2
Como T é linear:
T(e1 + 2e2) = T(e1) + 2T(e2) = (1, 2)
T(0e1 + e2) = T(e2) = (0, -1)
Portanto:
T(e2) = (0, -1)
Substituindo na primeira equação:
T(e1) + 2(0, -1) = (1, 2)
T(e1) + (0, -2) = (1, 2)
T(e1) = (1, 4)

Passo 4

Agora que temos T(e1) = (1, 4) e T(e2) = (0, -1) , podemos montar a matriz [T] na base padrão:
[T] = 1 & 0 4 & -1

Passo 5

Para diagonalizar [T] , precisamos encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que:
[T] = P D P^-1
Aqui, D será uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de T , e P será a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Já sabemos que os autovalores são 1 e -1 , e os autovetores são (1, 2) e (0, 1) .

Passo 6

Formamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P = 1 & 0 2 & 1
A matriz diagonal D será:
D = 1 & 0 0 & -1

Passo 7

Agora, confirmamos que [T] = P D P^-1 . Para isso, calculamos P^-1 :
P^-1 = 1 & 0 -2 & 1
Multiplicando as matrizes:
P D P^-1 = 1 & 0 2 & 1 1 & 0 0 & -1 1 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 2 & -1 1 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 0 & -1
O que confirma que [T] = P D P^-1 .

Resposta

A diagonalização de [T] é:
D = 1 & 0 0 & -1
com a matriz de mudança de base:
P = 1 & 0 2 & 1

Exercícios relacionados