Dado o operador , onde e . Então, encontre
A diagonalização de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua de maneira específica em dois vetores: e . Nosso objetivo é encontrar a diagonalização da matriz representativa de , ou seja, encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante à matriz de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, operadores lineares, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o operador está definido. Sabemos que:
Isso nos mostra que e são autovetores de com autovalores e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz na base padrão , onde e . Para isso, precisamos expressar e em termos da base padrão.
Sabemos que e são combinações lineares de e . Vamos resolver para encontrar e .
Temos:
Como é linear:
Portanto:
Substituindo na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos e , podemos montar a matriz na base padrão:
Passo 5
Para diagonalizar [T] , precisamos encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que:
[T] = P D P^-1
Aqui, D será uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de T , e P será a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Já sabemos que os autovalores são 1 e -1 , e os autovetores são (1, 2) e (0, 1) .
Passo 6
Formamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P = 1 & 0 2 & 1
A matriz diagonal D será:
D = 1 & 0 0 & -1
Passo 7
Agora, confirmamos que [T] = P D P^-1 . Para isso, calculamos P^-1 :