Dado o operador T: R^3 longrightarrow R^3, dado por
T(x, y, z)=(x-y, 2 x+3 y+2 z, x+y+2 z)
determine os autovalores e autovetores correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-y,;2x+3y+2z,;x+y+2z)
O conteúdo que vamos usar é o conceito de autovalor e autovetor: resolvemos
T(v)=lambda v
montando a matriz A de T na base canônica, calculando o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e depois achando cada espaço próprio ker(A-lambda I).

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz de T na base e1,e2,e3:
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
O polinômio característico é dado por
det(A-lambda I)=0,
onde
A-lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) =(1-lambda)det3-lambda&21&2-lambda -(-1)det2&21&2-lambda
Agora
det3-lambda&21&2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-2cdot1 =lambda^2-5lambda+4,
det2&21&2-lambda =2(2-lambda)-2cdot1 =2-2lambda
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4)+(2-2lambda) =-lambda^3+6lambda^2-11lambda+6
Multiplicando por -1 obtemos o típico
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6=0

Passo 4

Observamos que lambda=1,2,3 são raízes de
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6. Assim os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3

Passo 5

Para
Da primeira equação , isto é .
Então o espaço próprio é
.

Passo 6

Para
Da primeira .
Logo o vetor genérico é , equivalendo à direção .
O espaço próprio é .

Passo 7

Para
Da primeira . A terceira fica redundante.
Portanto os vetores são e o espaço próprio é .

Resposta

lambda1=1, autovetores proporcionais a (1,0,-1).
lambda2=2, autovetores proporcionais a (-2,2,1).
lambda3=3, autovetores proporcionais a (1,-2,-1).

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