Dado o operador
, dado por
determine os autovalores e autovetores correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
O conteúdo que vamos usar é o conceito de autovalor e autovetor: resolvemos
montando a matriz
de
na base canônica, calculando o polinômio característico
e depois achando cada espaço próprio
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz de
na base
:
O polinômio característico é dado por
onde
Passo 3
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Agora
Logo
Multiplicando por
-1 obtemos o típico
Passo 4
Observamos que
lambda=1,2,3 são raízes de
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6 . Assim os autovalores são
Passo 5
Para
Da primeira equação , isto é
.
Então o espaço próprio é
.
Passo 6
Para
Da primeira .
Logo o vetor genérico é , equivalendo à direção
.
O espaço próprio é .
Logo o vetor genérico é
O espaço próprio é
Passo 7
Para
Da primeira . A terceira fica redundante.
Portanto os vetores são
e o espaço próprio é
.