Seja o operador T: R^2 longrightarrow R^2, dado por
T(x, y)=(y, x)
determine os autovalores e autovetores correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y) = (y,x),
e pede para encontrar os autovalores lambda e os autovetores não-nulos vinR^2 tais que
T(v) = lambda,v
Para isso, vamos obter a matriz de T na base canônica, resolver a equação característica det(A - lambda I)=0 e, em seguida, achar os espaços próprios correspondentes.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, temos
T(e1) = T(1,0) = (0,1) = e2,
T(e2) = T(0,1) = (1,0) = e1
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 1 & 0
A equação característica é
det(A - lambda I) = det! -lambda & 1 1 & -lambda = lambda^2 - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - 1 = 0
obtemos
lambda = 1 ou lambda = -1

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
que dá , logo .
Os autovetores são todos os múltiplos de

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
que dá , logo .
Os autovetores são todos os múltiplos de

Resposta

Autovalores:
lambda = 1 e lambda = -1.
Autovetores:
para lambda = 1, vetores da forma t(1,1), tneq0;
para lambda = -1, vetores da forma t(1,-1), tneq0.

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