Dado o P.V.I.
y^prime=1+y^2, y(0)=0
Verifique que y=tan (x+c) é uma famılia de soluções a um parâmetro para a E.D.O. y^prime=1+y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) dado por:
y' = 1 + y^2, y(0) = 0
O objetivo é verificar que a função y = tan(x + c) é uma família de soluções para a equação diferencial ordinária (E.D.O.) y' = 1 + y^2 .
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e aplicar conceitos básicos de E.D.O.s.

Passo 2

Vamos começar substituindo y na E.D.O. pela função proposta y = tan(x + c) .
y = tan(x + c)

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de y em relação a x :
y' = ddx tan(x + c)
Sabemos que a derivada de tan(u) em relação a x é sec^2(u) cdot dudx . Como u = x + c , temos dudx = 1 .
Portanto,
y' = sec^2(x + c)

Passo 4

Vamos agora analisar o lado direito da E.D.O., que é 1 + y^2 . Substituindo y = tan(x + c) :
1 + y^2 = 1 + tan^2(x + c)
Lembrando da identidade trigonométrica:
1 + tan^2(u) = sec^2(u)
Aplicando isso:
1 + tan^2(x + c) = sec^2(x + c)

Passo 5

Comparando as duas expressões que encontramos:
y' = sec^2(x + c) e 1 + y^2 = sec^2(x + c)
Percebemos que:
y' = 1 + y^2
Isso mostra que a função y = tan(x + c) satisfaz a E.D.O. dada.

Resposta

Assim, verificamos que y = tan(x + c) é de fato uma família de soluções para a E.D.O. y' = 1 + y^2 .

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