Dado o P.V.I.
Verifique que
é uma famılia de soluções a um parâmetro para a E.D.O.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) dado por:
O objetivo é verificar que a função
é uma família de soluções para a equação diferencial ordinária (E.D.O.)
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e aplicar conceitos básicos de E.D.O.s.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na E.D.O. pela função proposta
.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Como
, temos
.
Portanto,
Passo 4
Vamos agora analisar o lado direito da E.D.O., que é
. Substituindo
:
Lembrando da identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 5
Comparando as duas expressões que encontramos:
Percebemos que:
Isso mostra que a função
satisfaz a E.D.O. dada.
Resposta
Assim, verificamos que
é de fato uma família de soluções para a E.D.O.
.