Encontre uma solução singular para o problema x raiz1-y^2 d x=d y.

Passo 1

O problema consiste em resolver a equação diferencial de primeira ordem
xraiz1 - y^2;dx ;=; dy
e, em particular, identificar sua(s) solução(ões) singular(es). O método aqui é usar separação de variáveis para obter a solução geral e depois verificar se existem soluções constantes (que podem ser singulares).

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyraiz1 - y^2 ;=; x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyraiz1 - y^2 ;=; integral x,dx
arcsin(y) ;=; x^22 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y obtemos a solução geral:
y ;=; sin!l(tfracx^22 + Cr)

Passo 5

Para achar soluções singulares procuramos soluções constantes y=k. Nesse caso dy=0 e a equação vira
x,raiz1 - k^2;dx = 0
Como essa igualdade deve valer para todo x e dx, precisamos de
raiz1 - k^2 = 0 ;;Longrightarrow;; k^2 = 1 ;;Longrightarrow;; k = pm 1
Portanto as soluções constantes y=1 e y=-1 são as soluções singulares.

Resposta

As soluções singulares são
y = 1 e y = -1

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