Dado o parabolóide elíptico z=x^{2}+y^{2}+3 :
a) Descreva as curvas de nível, (1,0)
b) Encontre o máximo ou mínimo explicando o procedimento.

Passo 1

O enunciado nos dá o parabolóide elíptico
z = x^{2} + y^{2} + 3
e pede:
a) descrever as curvas de nível e indicar a que passa por (1,0);
b) encontrar e classificar o máximo ou mínimo de z.

Passo 2

A curva de nível de um campo f(x,y) para um dado valor c é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3, logo a condição f(x,y)=c vira
x^{2}+y^{2}+3 = c
ou seja
x^{2}+y^{2} = c - 3.

Passo 3

Analisando x^{2}+y^{2}=c-3:
  • Se c<3, não há pontos reais (vazio).
  • Se c=3, temos x^{2}+y^{2}=0, ou seja o ponto (0,0).
  • Se c>3, obtemos círculos de centro na origem e raio \sqrt{c-3}.
    Para a curva que passa por (1,0) calculamos
c = f(1,0) = 1^{2} + 0^{2} + 3 = 4
e a curva de nível é
x^{2} + y^{2} = 4 - 3 = 1.

Passo 4

Para encontrar extremos de f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3 calculamos o gradiente:
\nabla f = \bigl(2x,\,2y\bigr)
e igualamos a zero, dando ponto crítico em (x,y)=(0,0). A Hessiana é
H = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix},
que é definida positiva. Logo f tem um mínimo absoluto em (0,0) e não há máximo.]

Resposta

(a) As curvas de nível são dadas por \;x^{2}+y^{2}=c-3;; para c<3 não há pontos, para c=3 é o ponto (0,0) e para c>3 são círculos de raio \sqrt{c-3}. A curva que passa por (1,0) corresponde a c=4 e é
x^{2}+y^{2}=1.
(b) Há um único ponto crítico em (0,0), onde z_{\min}=3; esse ponto é mínimo absoluto e não existe máximo.

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