Dado o parabolóide elíptico
:
a) Descreva as curvas de nível,
b) Encontre o máximo ou mínimo explicando o procedimento.
a) Descreva as curvas de nível,
b) Encontre o máximo ou mínimo explicando o procedimento.
Passo 1
O enunciado nos dá o parabolóide elíptico
e pede:
a) descrever as curvas de nível e indicar a que passa por ;
b) encontrar e classificar o máximo ou mínimo de .
a) descrever as curvas de nível e indicar a que passa por
b) encontrar e classificar o máximo ou mínimo de
Passo 2
A curva de nível de um campo
para um dado valor
é o conjunto
Aqui
, logo a condição
vira
ou seja
Passo 3
Analisando
:
- Se
, não há pontos reais (vazio). - Se
, temos , ou seja o ponto . - Se
, obtemos círculos de centro na origem e raio .
Para a curva que passa porcalculamos
e a curva de nível é
Passo 4
Para encontrar extremos de
calculamos o gradiente:
e igualamos a zero, dando ponto crítico em
. A Hessiana é
que é definida positiva. Logo
tem um mínimo absoluto em
e não há máximo.]
Resposta
(a) As curvas de nível são dadas por
;; para
não há pontos, para
é o ponto
e para
são círculos de raio
. A curva que passa por
corresponde a
e é
(b) Há um único ponto crítico em
, onde
; esse ponto é mínimo absoluto e não existe máximo.