Resolva o problema de programação linear (LP) usando o método simplex:
Maximizar:
F=x_{1}+2 x_{2}+x_{3}
Sujeito a:
\begin{gathered} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} \leq 2 \\\\ -2 x_{1}+x_{2}-5 x_{3} \geq-6 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}+x_{3} \leq 6 \\\ x_{i} \geq 0, \quad i=1,2,3 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
F = x_{1} + 2x_{2} + x_{3}
sujeito a
\begin{cases} 2x_{1} + x_{2} - x_{3} \le 2,\\\\ -2x_{1} + x_{2} -5x_{3} \ge -6,\\\\ 4x_{1} + x_{2} + x_{3} \le 6,\\\ x_{1},x_{2},x_{3}\ge0. \end{cases}
O conteúdo é programação linear pelo método Simplex. Vamos transformar as desigualdades em igualdades (adicionando variáveis de folga) e montar a tabela inicial do Simplex.

Passo 2

Converter cada restrição em equação:
  1. 2x_{1}+x_{2}-x_{3}\le2 adicione s_{1}\ge0:
2x_{1}+x_{2}-x_{3}+s_{1}=2.
  1. -2x_{1}+x_{2}-5x_{3}\ge-6 multiplique por -1 e adicione s_{2}\ge0:
2x_{1}-x_{2}+5x_{3}+s_{2}=6.
  1. 4x_{1}+x_{2}+x_{3}\le6 adicione s_{3}\ge0:
4x_{1}+x_{2}+x_{3}+s_{3}=6.
Expressão objetivo na forma Z - x_{1}-2x_{2}-x_{3}=0.

Passo 3

Montar a tabela inicial com base nas variáveis básicas s_{1},s_{2},s_{3}:
\begin{array}{c|cccccc|c} \text{Basic} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{RHS}\\hline s_{1} & 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2\\\ s_{2} & 2 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 6\\\ s_{3} & 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 6\\hline Z & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Passo 4

Buscar coeficiente negativo mais “promissor” na linha Z (regra de máximo): -2 em x_{2} entra. Fazemos razão mínima nas linhas com entrada positiva em x_{2}:
  • Linha s_{1}: 2/1=2.
  • Linha s_{3}: 6/1=6.
    Menor razão é 2 em s_{1}. Pivotar em (s_{1},x_{2}). Após pivotar, obtemos:
\begin{array}{c|cccccc|c} \text{Basic} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{RHS}\\hline x_{2} & 2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2\\\ s_{2} & 4 & 0 & 4 & 1 & 1 & 0 & 8\\\ s_{3} & 2 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 4\\hline Z & 3 & 0 & -3 & 2 & 0 & 0 & 4 \end{array}

Passo 5

Na nova linha Z o coeficiente -3 em x_{3} é o mais negativo, então x_{3} entra. Razões nas linhas com coeficiente positivo em x_{3}:
  • Linha s_{2}: 8/4=2.
  • Linha s_{3}: 4/2=2.
    Empate: escolhemos s_{2}. Pivotar em (s_{2},x_{3}). A tabela vira:
\begin{array}{c|cccccc|c} \text{Basic} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & \text{RHS}\\hline x_{2} & 3 & 1 & 0 & 1,25 & 0,25 & 0 & 4\\\ x_{3} & 1 & 0 & 1 & 0,25 & 0,25 & 0 & 2\\\ s_{3} & 0 & 0 & 0 & -1,5 & -0,5 & 1 & 0\\hline Z & 6 & 0 & 0 & 2,75 & 0,75 & 0 & 10 \end{array}

Passo 6

Na linha Z todos os coeficientes das variáveis não-básicas ( x_{1},s_{1},s_{2}) são não negativos. Isso indica solução ótima. Lemos da tabela:
x_{1}=0,\quad x_{2}=4,\quad x_{3}=2,\quad Z_{\max}=10.

Resposta

x_{1}=0,\;x_{2}=4,\;x_{3}=2, máximo F_{\max}=10.

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