Qual o significado de uma função f(x, y) ter limite L quando (x, y) \rightarrow \left(x_{0}, y_{0}\right) ? Como você poderia provar a não existência de um limite? (1,0)

Passo 1

O limite
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L
significa que, conforme o par (x,y) se aproxima de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) (por qualquer direção), os valores de f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L. Para fazer isso rigorosamente, usamos a definição em termos de \varepsilon e \delta.

Passo 2

Definição formal: dizemos que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existir \delta>0 tal que, sempre que
0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta,
então
\bigl|f(x,y)-L\bigr|<\varepsilon.
Em palavras, dentro do disco de raio \delta centrado em (x_{0},y_{0}), exceto o próprio ponto, f(x,y) fica em um intervalo de raio \varepsilon em torno de L.

Passo 3

Para provar a não existência do limite em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr), suponha, por contradição, que exista algum número L que seja o limite. Então, para esse L e para \varepsilon>0 convenientemente escolhido, deveríamos encontrar um \delta>0 satisfazendo a definição. A estratégia típica é mostrar que isso falha: produzimos duas maneiras diferentes de nos aproximar de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) (duas “rotas” ou duas sequências (x_{n},y_{n})\to(x_{0},y_{0})) tais que
\lim_{n\to\infty}f(x_{n},y_{n})=L_{1} \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}f(x'_{n},y'_{n})=L_{2}
com L_{1}\neq L_{2}. Isso contradiz a unicidade de limite e mostra que não há L que funcione para todas as direções.

Passo 4

Aplicando ao ponto \bigl(1,0\bigr): escolha duas retas passando por (1,0). Por exemplo, parametrizando cada reta de modo que (x,y)\to(1,0):
  1. Reta y=0: escreva (x_{n},y_{n})=(1+\tfrac1n,0). Então (x_{n},y_{n})\to(1,0) e f(x_{n},y_{n})\to L_{1}.
  2. Reta y=x-1: escreva (x'_{n},y'_{n})=(1+\tfrac1n,\tfrac1n). Então (x'_{n},y'_{n})\to(1,0) e f(x'_{n},y'_{n})\to L_{2}.
Se L_{1}\neq L_{2}, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(1,0)}f(x,y)
não existe. Basta calcular f nessas duas sequências e verificar a diferença de limites.

Resposta

Para dizer que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L
é exigir que, para todo \varepsilon>0, exista \delta>0 tal que
0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Para provar que não existe limite em (1,0), basta encontrar duas sequências (ou duas curvas) que cheguem a (1,0) mas em que f tenha limites diferentes. Por exemplo, ao longo de y=0 e de y=x-1, se os limites de f nesses dois caminhos forem distintos, não há limite único em (1,0).

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