1. Dado um paralelogramo M N P Q, seja A o ponto de interseçção das diagonais e sejam B e C os pontos médios dos lados opostos M N e P Q. Prove que, se os
    pontos A, B e C estão sobre a mesma reta, então M N P Q é um trapézio (um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos).

Passo 1

Temos um quadrilátero MNPQ. Seja A o ponto de interseção das diagonais MP e NQ, seja B o ponto médio de MN e seja C o ponto médio de PQ. Queremos mostrar que, se A,B,C são colineares, então MNparal<=l PQ, ou seja, MNPQ é um trapézio.

Passo 2

Como colinearidade e paralelismo são preservados por transformações afins, escolhemos um sistema de coordenadas afim que mande
Bmapsto(-1,0), Amapsto(0,0), Cmapsto(1,0)
Nesse sistema, as condições de ponto médio e interseção de diagonais viram relações lineares simples entre as coordenadas dos vértices.

Passo 3

Se M=(x,y), então de
B=M+N2=(-1,0)
segue
M+N=(-2,0)Longrightarrow N=(-2,0)-M=(-2-x,,-y)
Como A é interseção de MP, temos
A=M+P2=(0,0)
que dá
M+P=(0,0)Longrightarrow P=-M=(-x,-y)
E como A também é interseção de NQ,
A=N+Q2=(0,0)
implica
N+Q=(0,0)Longrightarrow Q=-N=(2+x,,y)

Passo 4

Agora calculamos os vetores dos lados MN e PQ:
MN=N-M=l((-2-x)-x,,-y-yr)=(-2-2x,,-2y),
PQ=Q-P=l((2+x)-(-x),,y-(-y)r)=(2+2x,,2y)
Note que
PQ=-,MN,
logo esses vetores são colineares e, em particular, MNparal<=l PQ.

Resposta

MNparal<=l PQ, portanto MNPQ é um trapézio.

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