Dado um paralelogramo , seja o ponto de interseçção das diagonais e sejam e os pontos médios dos lados opostos e . Prove que, se os
pontos e estão sobre a mesma reta, então é um trapézio (um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos).
Passo 1
Temos um quadrilátero . Seja o ponto de interseção das diagonais e , seja o ponto médio de e seja o ponto médio de . Queremos mostrar que, se são colineares, então , ou seja, é um trapézio.
Passo 2
Como colinearidade e paralelismo são preservados por transformações afins, escolhemos um sistema de coordenadas afim que mande
Nesse sistema, as condições de ponto médio e interseção de diagonais viram relações lineares simples entre as coordenadas dos vértices.
Passo 3
Se , então de
segue
Como é interseção de , temos
que dá
E como também é interseção de ,
implica
Passo 4
Agora calculamos os vetores dos lados e :
PQ=Q-P=l((2+x)-(-x),,y-(-y)r)=(2+2x,,2y)
Note que
PQ=-,MN,
logo esses vetores são colineares e, em particular, MNparal<=l PQ.