Mostre que:
(b) Se os vetores
são linearmente independentes, então os vetores
são linearmente independentes.
(b) Se os vetores
Passo 1
O enunciado afirma que temos três vetores
num espaço vetorial qualquer e que eles são linearmente independentes. O objetivo é provar que, a partir daí, o par
também é linearmente independente. O conteúdo aqui é o conceito de independência linear e vamos precisar apenas da sua definição.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que os vetores
são linearmente independentes se, sempre que
os únicos escalares
que satisfazem isso são
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
e
são independentes, suponha que existam escalares
e
tais que
Podemos view isso como
Mas como já sabemos que
são independentes, a definição nos diz que os coeficientes dessa combinação devem ser todos nulos. Ou seja,
Resposta
Portanto, a única solução de
é
, o que mostra que
e
são linearmente independentes.