Mostre que:
(b) Se os vetores u, v, w são linearmente independentes, então os vetores u, v são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado afirma que temos três vetores u,v,w num espaço vetorial qualquer e que eles são linearmente independentes. O objetivo é provar que, a partir daí, o par u,v também é linearmente independente. O conteúdo aqui é o conceito de independência linear e vamos precisar apenas da sua definição.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que os vetores u,v,w são linearmente independentes se, sempre que
a,u + b,v + c,w = 0,
os únicos escalares a,b,c que satisfazem isso são a=b=c=0.

Passo 3

Agora, para mostrar que u e v são independentes, suponha que existam escalares alpha e beta tais que
alpha,u + beta,v = 0
Podemos view isso como
alpha,u + beta,v + 0cdot w = 0
Mas como já sabemos que u,v,w são independentes, a definição nos diz que os coeficientes dessa combinação devem ser todos nulos. Ou seja,
alpha = 0, beta = 0, 0 = 0

Resposta

Portanto, a única solução de alpha,u + beta,v = 0 é alpha=beta=0, o que mostra que u e v são linearmente independentes.

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