1. Descreva uma base para os planos x y, y z e x z.

Passo 1

O enunciado pede para descrever uma base para cada um dos seguintes subespaços de R^3: o plano xy, o plano yz e o plano xz. Vamos usar o conceito de base como um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (espalha) todo o subespaço.

Passo 2

O plano xy é o conjunto de todos os vetores da forma (x,y,0). Para gerar esse plano, basta escolher dois vetores que cubram as direções x e y, por exemplo
v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0)
Eles são linearmente independentes e qualquer (x,y,0) pode ser escrito como x,v1 + y,v2.

Passo 3

O plano yz é o conjunto de todos os vetores da forma (0,y,z). Um conjunto natural de geradores é
w1 = (0,1,0), w2 = (0,0,1)
Esses vetores são linearmente independentes e geram qualquer (0,y,z) por combinação linear.

Passo 4

O plano xz é o conjunto de todos os vetores da forma (x,0,z). Podemos tomar como base
u1 = (1,0,0), u2 = (0,0,1)
Eles são independentes e todo (x,0,z) surge de x,u1 + z,u2.

Resposta

xy-plane: (1,0,0),,(0,1,0)
yz-plane: (0,1,0),,(0,0,1)
xz-plane: (1,0,0),,(0,0,1)

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